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Was wählt man hier sinvollerweise als Substitution?

x2 y= 2y2 + xy

Teilt man durch x2 und nimmt dann als Substitution den ganzen rechten Term?

Wie wähle ich eigentlich am sinnvollsten eine Substitution aus?

Gefragt von

2 Antworten

+1 Punkt

Ich würde an deiner Stelle y/x=z substituieren geht am besten. Du hast dann y' = 2z2 + z

Du musst immer schauen ob sich z danach leicht ableiten lässt. Das würde ich als Kriterium wählen.

Ich kann dir ja schonmal sagen was herauskommt: y = -x/(2lnx)


Lösungsweg:

$$ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 2 y ^ { 2 } + x y } \\ { y ^ { \prime } = 2 \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac { y } { x } } \\ { z = \frac { y } { x } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { y ^ { \prime } = 2 z ^ { 2 } + z } \\ { z = \frac { y } { x } } \\ { z = \frac { d z } { d x } = - y \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + y ^ { \prime } \frac { 1 } { x } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { z ^ { \prime } x + \frac { y } { x } = y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } x + z = y } \\ { z ^ { \prime } x + z = 2 z ^ { 2 } + z } \end{array} \\ \begin{array} { l } { z ^ { \prime } x = 2 z ^ { 2 } } \\ { \frac { d z } { d x } x = 2 z ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } d z = \frac { 1 } { x } d x } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \int \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } d z = \int \frac { 1 } { x } d x } \\ { - \frac { 1 } { 2 z } = \ln x } \\ { - \frac { 1 } { 2 \ln x } = \frac { y } { x } } \\ { - \frac { x } { 2 \ln x } = y } \end{array} $$

Beantwortet von

Danke, aber das Ergebnis soll laut Lösung sein:

y = - x / ( ln ( x2 ) + C )

Ich habe aber auch Euer Ergebnis heraus!

Oh man, bin ich bl... ,das ist ja das Selbe. Sorry, habe meinen Fehler gefunden!!!

Also der Term im Nenner mit ln (x2) lässt sich auch umformen zu:

ln (x2) = 2*ln(x) = 2lnx

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Man teil die ganze Gleichung durch Y

x²y=2y²+xy    |/y

x²=2y+x        |-2y

x²-x=2y         | /2

(x²-x)/2=y
Beantwortet von 20 k
Ich glaube du hast den hochgestellten Strich beim 1. y vergessen^^

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