Funktion mit einem Element multiplizieren

Question

Was bedeutet eine Funktion mit einem Element multiplizieren?

Und zwar ein bestimmtes Beispiel.

$V, W$ Vektorräume über $K$, dann ist $Hom_K(V,W) \subseteq Abb(V,W)$ ein Untervektorraum.

Beweis: Es müssen drei Bedingungen gezeigt werden. Ich habe eine Frage zu der letzten, d.h. ein Element von $Hom$ mit einem Element von $K$ multiplizieren und zeigen, dass es wieder ein Element von $Hom$ ist (d.h., dass es wieder $K$-linear ist).

Ich habe bei mir (Buch Fischer) folgendes stehen für $\lambda, o, r \in K$, $F \in Hom_K(V,W)$ und $v, w \in V$:

$(\lambda \cdot F )(ov+rw) = \lambda F(ov+rw) = ...$

D.h. wenn ich das richtig sehe, wird bei der Multiplikation dieser Funktion mit einem $K$-Element jeder Wert mit $\lambda$ multipliziert? Ist das eine allgemeingültige Definition? Ich habe bei mir im Buch nirgendwo die Definition solcher Multiplikation gefunden. Ich kenne nur eine Addition zweier Funktionen oder eine Multiplikation zweier Funktionen, deshalb meine Frage. Kann sein, dass ich die Definition irgendwo übersehen habe, woran ich aber nicht glaube...

PS. Ah... Die Definition steht unter den Aufgaben $(\lambda \cdot f)(x) := \lambda f(x)$. Dann hat sich alles geklärt :).

Answer 1

Das ist ja auch der klassische Weg: Es wird auf die
Funktonswerte zurückgeführt: Etwa in Worten

Körperelement mal Funktion, gibt die Funktion,
die jedem x das Produkt

Körperelement * Funktionswert von x bei der alten Funktion

zuordnet.