Bestimmung des Definitionsbereichs und die Gültigkeit trigonometrischer Formel beweisen

Question

Die Tangensfunktion ist definiert durch tan(x)=sin(x)/cos(x). Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f und machen Sie eine Zeichnung. Beweisen Sie danach die Gültigkeit folgender trigonometrischer Formel:

$$ \tan ( x + y ) = \frac { \tan ( x ) + \tan ( y ) } { 1 - \tan ( x ) \tan ( y ) } $$

Benutzen dürfen Sie dabei die Additionstheoreme

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

und

cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

Comments

Es kommt hier mit beiden Seiten der Gleichung der gleich Plot raus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot3D+%28tan+x+%2B+tan+y%29+%2F+%28+1-+tan+x+*+tan+y%29

tan(x+y) ist nicht definiert, wenn cos(x+y) = 0. Also x+y = pi/2 + k*pi          k Element Z.

Das ergibt im Grundriss die um 45° geneigten geraden Definitionslücken.

D = {(x|y)| y = pi/2 - k*pi - x , k Element Z}

Answer 1

Mit Hilfe der Additionstheoreme und der Beziehung sin(a)/cos(a) = tan(a) findet man:

$$ \frac { \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } + \frac { \sin ( y ) } { \cos ( y ) } } { 1 - \frac { \sin ( x ) \sin ( y ) } { \cos ( x ) \cos ( y ) } } = \\ = \frac { \left( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } + \frac { \sin ( y ) } { \cos ( y ) } \right) \cos ( x ) \cos ( y ) } { \cos ( x ) \cos ( y ) - \sin ( x ) \sin ( y ) } \\ = \frac { \sin ( x ) \cos ( y ) + \sin ( y ) \cos ( x ) } { \cos ( x ) \cos ( y ) - \sin ( x ) \sin ( y ) } \\ = \frac { \sin ( x + y ) } { \cos ( x + y ) } = \tan ( x + y ) $$

Answer 2

 

Beweis Additionstheorem des Tangens

tan(A+B) = sin(A+B) / cos(A+B)

        |Voraussetzung

= (sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)) /  (cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))

          |oben und unten durch cos(α)cos(β) dividieren

          |aus Zähler und Nenner jeweils 2 Brüche machen

          |Wo möglich mit cos(α) und oder cos(β) kürzen

sin/cos mit tan ersetzen.

Resultat: Formel, die zu beweisen ist.