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Aufgabe:

a) Sei das folgende Polynom über dem Körper \( \mathbb{F}_{5} \) mit 5 Elementen gegeben:

\( f=x^{5}+x+\overline{1} \in \mathbb{F}_{5}[x] \)

Bestimmen Sie alle Werte der Polynomfunktion \( \tilde{f} \).

Geben Sie ein weiteres Polynom \( g \in \mathbb{F}_{5}[x] \) mit \( \tilde{g}=\tilde{f} \) an.

b) Sei nun \( K \) ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass es ein nicht-konstantes Polynom über \( K \) gibt, welches keine Nullstelle besitzt.

Geben Sie ein Beispiel für den Körper \( \mathbb{F}_{5} \) an.

von

2 Antworten

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a)

Ansatz: Setz doch einfach alle möglichen Werte ein und guck was rauskommt (sind ja nur 5).

Für den zweiten Teil der Aufgabe kannst du zum Beispiel den kleinen Fermat verwenden.

Gruß

von 23 k
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a) Ich bekomme 

x=0 f=1QUER
x=1 f=3QUER
x=2 f=2^5 + 2 + 1=35 = 0QUER
x=3 f=3^5 + 3 + 1 = 247 = 2 QUER
x=4 f=4^5 + 4 + 1 = 1029 = 4 QUER

Wegen F5 kommen ab hier immer wieder die gleichen Werte raus

W(fQUER) = { 0QUER, 1QUER, 2QUER, 4QUER}

g = x^5 - 4x + 1QUER

b) Ein endlicher Körper sollte eine 1 und eine 0 enthalten, mit 1≠0.

Wenn man ausschliessen könnte, dass da ein i drinn ist, ginge da vielleicht

f = x^2 + 1QUER  ?

Anmerkung:  Yakyus Antwort ist formal sicher besser.

Zu meiner:

Ergänze bitte alle QUER, die nötig und sinnvoll sind. Soweit ich sehe haben eure Polynomfunktionen ein QUER drüber, ebenso die "Zahlen".

Weisst du vielleicht gerade, was genau der Unterschied von f und fQUER ist?

von 162 k 🚀
Hi, das ist schneller geTeXt, als anders: und bei \(\tilde{f}\left(\overline{3}\right)\) bin ich anderer Meinung:
$$ \tilde{f}\left(\overline{0}\right)=\overline{1}\\ \tilde{f}\left(\overline{1}\right)=\overline{3}\\ \tilde{f}\left(\overline{2}\right)=\overline{0}\\ \tilde{f}\left(\overline{3}\right)=\overline{2}\\ \tilde{f}\left(\overline{4}\right)=\overline{4}\\ $$

Danke f(3) = 2 ist nun oben korrigiert.

Das Polynom \(g = x^5 - 4x + 1\) ist aber nicht wesentlich verschieden von \(f = x^5 +x + 1\)...

Nein. Du darfst gern etwas verschiedeneres angeben.

und wie oben erwähnt mir noch erklären, was genau die Schreibweise fQUER neben f bringen soll.

üblich und sinnvoller ist mE f(x) : = x^5 + x + 1 für die Funktion f.

Na, es wird zwischen dem Polynom \(f\) und der Polynomfunktion \(\tilde{f}\) ("f-Tilde") unterschieden.

Also fTilde ist ohne Bezug zu z.B. 1QUER?

"1-quer" bezeichnet das Körperelement, dies halte ich eigentlich für entbehrlich.

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