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ich habe mal eine Frage zu Eigenwerten und Eigenvektoren.


Eigenvektoren sind doch die Basisvektoren vom Kern von (\(A- \lambda_i \mathbb{1}\)) mit \(\lambda_i\) den Eigenvektoren. Dann kann ein Eigenwert auch mehrere Eigenvektoren haben. Wie ist es aber bei mehrfachen Eigenwerten? Diese haben die gleichen Eigenvektoren. Müssen die Eigenvektoren nicht linear unabhängig sein?

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Eigenwerte besitzen eine algebraische und eine geometrische Vielfachheit.
Die algebraische Vielfachheit ist das,was du mit mehrfachen Eigenwerten meinst. Die algebraische Vielfachheit ist also die Anzahl,wie oft eine Matrix A den Eigenwert Lambda besitzt.  Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der dazugehörigen Eigenvektoren. Hierbei gilt:
geo <= alg
Wobei geo immer größer als 1 ist. Also 1 Eigenvektor findest du auf jeden Fall. Es kann aber auch vorkommen dass du einen "3-fachen" Eigenwert hast und dazu nur einen Eigenvektor.

Beachte, dass es nicht die algebraische oder geometrische Vielfachheit einer Matrix gibt, sondern dass diese für jeden Eigenwert betrachtet werden muss.

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