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Wie kann ich kurz beweisen, dass Wurzel 2 irrational ist?

von

Dies wird hier ausführlich erklärt:

https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen

2 Antworten

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Hier führt man am besten einen Widerspruchsbeweis.

 

Nimm an, dass √2 eine rationale Zahl ist, dass also √2 = p/q gilt, wobei dieser Bruch maximal gekürzt sei, insbesondere sind also beide Zahlen ganz und nicht beide gerade.

Dann gilt:

(√2)2 = 2 = p^2/q^2

p^2 = 2*q^2

Also ist p^2 eine gerade Zahl und damit auch p.

Wenn p eine gerade Zahl ist, dann existiert eine ganze Zahl k mit der Eigenschaft p = 2*k.

Setzt man das in die letzte Gleichung ein, erhält man

(2*k)^2 = 2*q^2

4*k^2 = 2*q^2

⇒q^2 = 2*k^2

Damit ist also q^2 und somit auch q eine gerade Zahl, was unserer Annahme widerspricht.

 

Also ist √2 irrational.

von 10 k
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Da genügt ein Widerspruchsbeweis.

Hier mal sehr schön vorgetragen:

von 422 k 🚀

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