Numerik: Gleichung beweisen

Question

Ich sitze an meinen Numerik-Aufgaben und habe das meiste auch schon irgendwie hinbekommen, aber die letzte Aufgabe bereitet mir irgendwie Probleme.

Sei A∈ℝ^mxn eine Matrix und λ_max(A^TA) der größte Eigenwert von A^TA, dann ist

$$ \| A \| _ { 2 } = \sqrt { \lambda _ { \max } \left( A ^ { T } A \right) } $$

eine Matrixnorm. Es sei nun A∈ℝ^nxn eine regüläre, symmetrische Matrix. Man zeige:

$$ \left\| A ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { \lambda _ { \min } \left( A ^ { 2 } \right) } } $$

wobei λ_min(A²) den kleinsten Eigenwert von A² bezeichnet.

Wir haben Normen vorher nur kurz definiert und nie richtig damit gearbeitet und mit Eigenwerten haben wir auch erst angefangen.

Answer 1

$$A A^{-1} =I \Rightarrow ||AA^{-1}||_{2}=||I||_{2}=1$$

Hilft dir das weiter?