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Ich habe keine Ahnung, wäre lieb, wenn jemand helfen könnte.

Danke!

von

Wie ist denn bei euch eine Cauchyfolge definiert?  Ich kenne a) als Definition.

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So steht die Definition im Skript

1 Antwort

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Die übliche Definition für eine Cauchyfolge in einem metrischen Raum ist $$ \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\varepsilon ~\forall m,n\ge N.$$
Hier ist natürlich$$ d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|$$.
Du sollst also zeigen:
$$(a_n) \text{ ist CF } \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists N: |x_n-x_N|<\varepsilon~\forall n \ge N$$ ist. Die "=>"-Richtung ist denke ist klar, oder? Wenn das für alle m >= N gilt, dann natürlich auch für N. Andersrum kannst du eien kleinen Trick anwenden und $$a_N-a_N$$ im Betrag zu $$|a_n-a_m|<\varepsilon$$ addieren. Dann musst du nur noch die Dreiecksungleichung anwenden.

Mfg Ferragus
von
Zum zweiten: die Folge ist beschränkt, falls es ein M > 0 gibt, sodass für alle n
$$ |a_n| < M $$
ist. Mit Blick auf die erste Aufgabe siehst du, dass du eine beliebige positive Zahl wählen kannst, wonach
$$|a_n| < M + |a_N|$$
für ein gewisses $$N\in\mathbb{N}$$ und $$n>N$$ gilt. Nun kann es natürlich ein $$k<N$$ geben, für welches $$a_k > M + |a_N|$$ ist. Das macht aber nichts, es gibt trotzdem eine obere Schranke. (Warum?)

Mfg Ferragus

PS: Schau dir das hier erstmal an. Falls du dann eine Frage zur 3. hast, nur zu.

für was steht bei der (b)

denn das M? Und warum gibt es trotzdem eine obere Schranke?

zu (a)

Kannst du mir die => Richtung mal aufschreiben? Komme damit leider nicht so klar

Also wenn du ein $$\varepsilon > 0$$ und eine positive Zahl N, sodass $$|a_n-a_m| < \varepsilon~\forall n,m\ge N$$ ist, dann gilt natürlich auch $$|a_n-a_N|<\varepsilon$$ für alle $$n \ge N,$$ weil $$N \ge N$$ ist.
Das M in der b) ist eine positive Zahl. Die Folge ist beschränkt, wenn sie vom Betrag her nicht größer als eine bestimmte Zahl wird, die habe ich mit M bezeichnet. Z.B. ist
$$ |1-\frac{1}{n}| < 5$$ Für alle n. Die fünf ist willkürlich, genausogut hätte ich 1 oder 10 schreiben können. (Für 1/2 würde die Ungleichung natürlich nicht für alle n bestehen.)
Jetzt zu $$|a_n| < M+|a_N|.$$
Damit weißt du, dass die Folge beschränkt ist, wenn du sie bei N beginnen ließest. Die Menge $$\{a_1,a_2,...,a_N\}$$ ist aber endlich und besitzt somit ein größtes Element. Dessen Betrag kannst du z.B. einfach zu obiger Ungleichung dazuaddieren.

Ah, habe es nachvollziehen können.

Danke.

Und nun zu (c) der Teil mit der Produktfolge.

Wie funktioniert das denn?

Liebe Grüße

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