Bestimmen Sie die unbekannten Permutationen g und h, wenn die Gleichungen gelten.

Question

Aufgabe:

Durch $a, b, f, r$ seien folgende Permutationen der Menge $\{1,2,3,4,5,6\}$ gegeben.

$\begin{aligned} a &=\left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 6 & 3 \end{array}\right) \\ f &=\left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \end{array}\right), \quad r=\left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 \end{array}\right) \end{aligned}$

(i) Bestimmen Sie die unbekannten Permutationen $g$ und $h$, wenn die Gleichungen $f \circ g \circ h=r$ und $h \circ a=b$ gelten.

(ii) Bestimmen Sie $g$ als Produkt von Permutationen, wobei jeder Faktor entweder $a, b, f, r$ oder $a^{-1}, b^{-1}, f^{-1}, r^{-1}$ ist.

(iii) Bestimmen Sie $(f \circ g \circ h)^{2}$.

Answer 1

h o a = b    von rechts mit a ^-1 multiplizieren
h        = b o a ^-1
und dann bei f o g o h = r einsetzen und entsprechend g ausrechnen.
etc.