Seien α,β∈R \alpha, \beta \in \mathbb{R} α,β∈R. Durch
∘ : R×R⟶R,(x,y)⟼α⋅x+β⋅y \circ: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},(x, y) \longmapsto \alpha \cdot x+\beta \cdot y ∘ : R×R⟶R,(x,y)⟼α⋅x+β⋅y
ist auf R \mathbb{R} R eine innere Verknüpfung definiert. Wie hat man α,β∈R \alpha, \beta \in \mathbb{R} α,β∈R zu wählen, damit
a) (R,∘) (\mathbb{R}, \circ) (R,∘) eine Halbgruppe ist?
b) (R,∘) (\mathbb{R}, \circ) (R,∘) eine Gruppe ist?
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um assoziativ zu sein, muss die Verknüpfung die Bedingungen α2=α \alpha^2 = \alpha α2=α und β2=β \beta^2 = \beta β2=β beziehungsweise α,β∈{0,1} \alpha, \beta \in \{0, 1\} α,β∈{0,1} erfüllen.
Um eine Gruppenverknüpfung zu sein, muss α=1 \alpha = 1 α=1 und β=1 \beta = 1 β=1 gewählt werden, damit e=0 e = 0 e=0 sowohl links- als auch rechtsneutral und damit eindeutig ist. In diesem Fall kommutiert die Verknüpfung sogar.
Das inverse Element zu einem Element x x x ergibt sich dann durch −x -x −x.
MfG
Mister
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