Entscheiden ob (P(M),delta,n) und (P(M),delta,u} Ringe sind und Aussage beweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( M \) eine nichtleere Menge. Entscheiden Sie, ob \( (\mathcal{P}(M), \Delta, \cap) \) und \( (\mathcal{P}(M), \Delta, \cup) \) Ringe sind und beweisen Sie Ihre Aussage.

Hinweis: \( A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B) \)

Answer 1

Ringaxiome nachprüfen:
P(M) mit Δ eine Gruppe ?
assoziativ:   (A Δ B) Δ C =   A Δ ( B Δ C ) durch nachrechnen prüfen
neutrales El ?     A Δ X = A   stimmt für alle A, wenn X die leere Menge ist, also ist die das neut. El.
inverses El zu A müsste ein X sein mit     A Δ X = { } klappt mit X=A, also ist A zu sich selbst das Inverse.
Dann P(M) mit ∩ auf Halbgruppe prüfen
und dann noch Disributivgesetz prüfen:
A ∩ ( B Δ C)                          = :
A ∩ ( ( B ∪ C)  \ ( B ∩ C ) ) =  
(A ∩  ( B ∪ C))  \ ( A ∩ B ∩ C ) ) =      
 ( (A ∩ B)  ∪  ( A ∩ C) )  \  ( (A ∩ B)  ∩ ( A ∩ C) ) =
(A ∩ B)  Δ  ( A ∩ C) 
                               klappt also.                 

Comments

Ich habe zurzeit auch die selbe Aufgabe.

Im großen und ganzen verstehe ich die Aufgabe ja, aber ich weiß nicht wie ich z.B. das hier "assoziativ:  (A Δ B) Δ C =  A Δ ( B Δ C ) durch nachrechnen prüfen" nachrechnen soll. und für die anderen Ringaxiome auch nicht.

Könnte mir jemand an einem Beispiel zeigen wie ich die Axiome nachrechnen soll? Vielleicht verstehe ich dann das Prinzip dahinter

Vielen Dank für die Hilfe.

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  (A Δ B) Δ C =  A Δ ( B Δ C ) durch nachrechnen prüfen"

Etwa so :

 https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre:_Mengenoperation:_Assoziativgesetz#Beweis_2