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A(n): ∑ 1/3^j = 1/18 - 1/2*(1/3)^n

Summe j=3 bis n.

Bild Mathematik


Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch und komme absolut nicht voran.

Wie komme ich nun von der Zeile beim Beweis zurück zur Induktionsbehauptung?

von

Bist du sicher, dass du Induktion nehmen willst?

Das ist ja einfach eine geometrische Reihe.

EDIT: Habe die Formeln aus deinem Bild entziffert. Stimmt das oben so in Überschrift und über dem Bild? j und 3 sehen bei dir ähnlich aus.

Ja ich bin mir absolut sicher, denn es ist in der Aufgabe gefordert.

Genau, die Überschrift ist korrekt

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Du sollst bis n+1 summieren (nicht bis k+1)

1/18  - 1/2 * (1/3)^n + 1/3^{n+1}

= 1/18 - 1/2 * 3* (1/3)^{n+1}  + 1* (1/3)^{n+1}

= 1/18 + ( -3/2 + 1) * (1/3)^{n+1}

= 1/18 + (-1/2) *(1/3)^{n+1}

= 1/18 - 1/2 * (1/3)^{n+1}

von 7,6 k

Induktionsanfang ohne Rundungen: 

1/3^3 = 1/27

= ? =

1/18 - 1/2 * 1/3^3 = 3/54 - 1/54 = 2/54 = 1/27

stimmt.

Okay, ich verstehe nur nicht ganz, woher die 3 und die 1 in der zweiten Zeile (jeweils vor den Brüchen) kommen.

Das ist Bruch- und Potenzrechnen:

(1/3)^{n+1}= 1/3^{n+1}

1/3^{n+1} = 1/3 * 1/3^n        | * 3

3 * 1/3^{n+1} = 1/3^n

3* (1/3)^{n+1} = (1/3)^n 

Nun in der betreffenden Zeile (1/3)^n durch 3*(1/3)^{n+1} ersetzen.

Ah okay, jetzt ...

Bitte sehr. Freut mich, wenn's klar ist.

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