Wie kann ich von der Spur das charakteristische Polynom ableiten?

Question

Hey Leute,

Habe eine sehr e Frage, was mir den Kopf zerbricht uns zwar:

 Gegeben ist die Matrix A∈ Mat(3x3;ℂ) mit spur(A)=0 und spur(A^2)=4 und Spur(A^3)=-12

Wie kann ich hier denn das charakteristische Polynom bestimmen?

(Spur ist die Summe der Diagonla von der Matrix)

Comments

vielleicht ein paar Tipps:

char Polynom f(z) = z^3 + az^2 + b^z + c   (falls ihr det( x*E-A) definiert habt, sonst

                                                                           alles mal -1 )

und es ist a = - Spur(A) also hier = 0. 

Außerdem gilt : Spur(A) = Summe aller Eigenwerte L1,L2,L3 von A 

 und auch f(z) = (z-L1)(z-L2)(z-L3) 

und dann gilt auch:  Aus   L Eigenwert von A folgt L^2  Eigenwert von A^3

  und L^3 Eigenwert von A^3

also auch L1+L2+L3=0

und           L1^2+L2^2+L3^2=4

und         L1^3+L2^3+L3^3=-12

Vielleicht hilft das ja was ?????????

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Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems ist \(L_1=-2;\,L_2=1-i;\,L_3=1+i\).
Das charakteristische Polynom lautet damit
\(p(x)=(x-L_1)\cdot(x-L_2)\cdot(x-L_3)=x^3-2x+4\).

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Mein Ansatz war folgendermassen:

Sp(A)=L₁ + L₂ + L₃ =0

Sp(A^2)= L₁ + L₂ + L₃ = 4  usw.

Hmmm

Wie kommt man auf das nichtlineare Gleichungssystem? Und dann auf das char.polynom?

:))

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Die Spur von A^2 ist ja die Summe der Quadrate von den

Eigenwerten von A. Für die Lösung des nichtlinearen Gl.sys.

muss man vielleicht geschickt umformen und einsetzen oder so ?

Answer 1

bezeichne die drei Eigenwerte von \(A\) mit \(u,v,w\in\mathbb C\).
Das charakteristische Polynom von \(A\) berechnet sich nach Vieta zu$$p_A(x)=x^3-(u+v+w)x^2+(uv+uw+vw)x-uvw.$$Bereits bekannt sind$$\quad(1)\quad u+v+w=0$$$$\quad(2)\quad u^2+v^2+w^2=4$$$$\quad(3)\quad u^3+v^3+w^3=-12.$$Quadriere nun (1) und erhalte$$0^2=(u+v+w)^2=(u^2+v^2+w^2)+2(uv+uw+vw).$$Nach (2) folgt$$0=4+2(uv+uw+vw),$$ und daraus$$uv+uw+vw=-2.$$
Andererseits gilt nach (1)$$u=-(v+w).$$Eingesetzt in (3) ergibt sich$$4=v^2w+vw^2=vw(v+w)=-uvw.$$Es folgt$$uvw=-4.$$
Das charakteristische Polynom von \(A\) lautet demzufolge$$p_A(x)=x^3-2x+4.$$