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Habe eine sehr e Frage, was mir den Kopf zerbricht uns zwar:

Gegeben ist die Matrix A∈ Mat(3x3;ℂ) mit spur(A)=0 und spur(A2)=4 und Spur(A3)=-12

Wie kann ich hier denn das charakteristische Polynom bestimmen?


(Spur ist die Summe der Diagonla von der Matrix)

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vielleicht ein paar Tipps:

char Polynom f(z) = z3 + az2 + bz + c   (falls ihr det( x*E-A) definiert habt, sonst

alles mal -1 )

und es ist a = - Spur(A) also hier = 0. 

Außerdem gilt : Spur(A) = Summe aller Eigenwerte L1,L2,L3 von A

und auch f(z) = (z-L1)(z-L2)(z-L3)

und dann gilt auch:  Aus   L Eigenwert von A folgt L2  Eigenwert von A3

und L3 Eigenwert von A3

also auch L1+L2+L3=0

und           L12+L22+L32=4

und         L13+L23+L33=-12

Vielleicht hilft das ja was ?????????

Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems ist L1=2;L2=1i;L3=1+iL_1=-2;\,L_2=1-i;\,L_3=1+i.
Das charakteristische Polynom lautet damit
p(x)=(xL1)(xL2)(xL3)=x32x+4p(x)=(x-L_1)\cdot(x-L_2)\cdot(x-L_3)=x^3-2x+4.

Mein Ansatz war folgendermassen:

Sp(A)=L+ L2 + L3 =0

Sp(A2)= L1 + L2 + L3 = 4  usw.

Hmmm

Wie kommt man auf das nichtlineare Gleichungssystem? Und dann auf das char.polynom?


:))

Die Spur von A2 ist ja die Summe der Quadrate von den

Eigenwerten von A. Für die Lösung des nichtlinearen Gl.sys.

muss man vielleicht geschickt umformen und einsetzen oder so ?

1 Antwort

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bezeichne die drei Eigenwerte von AA mit u,v,wCu,v,w\in\mathbb C.
Das charakteristische Polynom von AA berechnet sich nach Vieta zupA(x)=x3(u+v+w)x2+(uv+uw+vw)xuvw.p_A(x)=x^3-(u+v+w)x^2+(uv+uw+vw)x-uvw.Bereits bekannt sind(1)u+v+w=0\quad(1)\quad u+v+w=0(2)u2+v2+w2=4\quad(2)\quad u^2+v^2+w^2=4(3)u3+v3+w3=12.\quad(3)\quad u^3+v^3+w^3=-12.Quadriere nun (1) und erhalte02=(u+v+w)2=(u2+v2+w2)+2(uv+uw+vw).0^2=(u+v+w)^2=(u^2+v^2+w^2)+2(uv+uw+vw).Nach (2) folgt0=4+2(uv+uw+vw),0=4+2(uv+uw+vw), und darausuv+uw+vw=2.uv+uw+vw=-2.
Andererseits gilt nach (1)u=(v+w).u=-(v+w).Eingesetzt in (3) ergibt sich4=v2w+vw2=vw(v+w)=uvw.4=v^2w+vw^2=vw(v+w)=-uvw.Es folgtuvw=4.uvw=-4.
Das charakteristische Polynom von AA lautet demzufolgepA(x)=x32x+4.p_A(x)=x^3-2x+4.

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