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Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der folgenden Gleichungen in der Form z=a+bi mit reellen Zahlen a, b:

a.) z^2 + (2+4i)z -6=0
b.) (z+√3)^3=-1

Bei a.) habe ich die Mitternachtsformel benutzt und bin auf (-2-4i ± √12+16i)/2 gekommen. Was muss ich jetzt weiter machen?
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Du meinst vielleicht:

(-2-4i ± √(12+16i))/2 

Nun bestimme die beiden Wurzeln √(12+16i)  in C. 

Muss ich dafür die Polarkoordinaten benutzen?

√(12+16i)  = 2√(3 + 4i) 

Wenn unter der Wurzel keine binomische Formel zu erkennen ist, ist das am einfachsten. 

Kannst du mir bitte b.) zeigen?

b) hab ich doch schon berechnet.

Kontrolle:

Bild Mathematik

Was soll ich bei b.) als erstens machen?

1 Antwort

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Beste Antwort

 (z+√3)3=-1 

-1 = eiπ + 2kπ

 (z+√3)3=-1   | 1/3

z_(k) + √3 = ei(π/3  + 2kπ/3)

z_(k) = - √3 + ei(π/3  + 2kπ/3)

z_(1) = - √3 + eiπ/3 = 1/2-(1-i/2) √(3)

z_(2) = - √3 + ei(π/3  + 2π/3) = -√3 + e = -√3 - 1

z_(3) = - √3 + ei(π/3  + 4π/3)

- √3 + e^{i(5π/3)} = 1/2-(i√3)/2
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Sorry b.) ist eigentlich (z+√(3))3=-8i

Ok. Dann hast du ja jetzt einen Weg und änderst einfach die Zahlen.

3√8 = 2 und i = eiπ/3

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