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Zu finden ist eine differenzierbare Funktion f: (0;1) aus R.

Die Eigenschaften sind: für jedes x Element aus (0;1) ist f(x) genau die hälfte der Länge des Graphen von f im Intervall (0;x)

Aufgabenstellung:

1) Formel angeben, also f(x)=...

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0

3) Gleichung für f´(x) bestimmen in dem man f(x) ableitet. Ist die Funktion streng monoton steigend?


Für 1) dachte ich, dass man über die Länge des Graphen geht die ja im Integral von 0 bis x (Wurzel aus 1+f´(x)^2 dt ) x 1/2

Liege ich da komplett falsch?

setz man dann nämlich für die obere Grenze x=0 ein, dann ergibt sich f(0)=0

von

Wie ist das mit der Funktion

f(x) = 1/√3·x

Ist der Graph nicht immer doppelt so lang wie der x-Wert angibt? Habe ich das so richtig verstanden?

Skizze

Bild Mathematik

für jedes x zwischen 0 und 1 ist f(x) ist genau die hälfte der länge des graphen im intervall von 0 bis x


die funktion müsste doch mit f(x)= 1/2 x... beginnen oder?

Ich habe oben mal eine Skizze angefügt.

f(1) = 1/√3 ≈ 0.5774

Und wie lang ist der Graph im Intervall von 0 bis 1 ? Ist der Doppelt so lang ?

s = √(1^2 + (1/√3)^2) = 2/√3

Das ist doch jetzt genau 2 mal der Funktionswert.

1 Antwort

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Wenn man eine lineare Funktion ausprobiert kann man den
Pythagoras anwenden.

c^2 = x^2 + [ f ( x )] ^2
und
c = f ( x ) * 2

Durch Einsetzen und Umformungen erhält man

1) Formel angeben, also f(x)=...
f ( x ) = ( 1 / √ 3 ) * x


2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0
f ( 0 ) = ( 1 / √ 3 ) * 0 = 0

3) Gleichung für f´(x) bestimmen in dem man f(x) ableitet.
Ist die Funktion streng monoton steigend?
f `( x ) = 1 / √ 3 => stets positiv also streng monton steigend.

von 111 k 🚀

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0 

Da hast du es dir glaube ich zu einfach gemacht. Wenn f(x) genau die angenommene lineare Funktion ist, dann ist f(0) = 0. Es sollte aber denke ich etwas allgemeiner für jede mögliche Funktion f(x) gelten.

Ich würde ja sogar vermuten es muss sich im Intervall von 0 bis 1 um genau diese lineare Funktion handeln muss. Gezeigt habe ich das aber nicht warum es nur diese Funktion gibt die möglich ist. Das sollte eventuell auch noch gemacht werden.

Aufgabenstellung
Zu finden ist eine differenzierbare Funktion f: (0;1) aus R.

Eine Funktion wurde gefunden.
So verstehe ich die Aufgabenstellung.

mfg Georg

Richtig. Eine wurde gefunden. Die Frage ist ja gibt es noch andere. Ok. es gibt keine andere. Aber solange wir das nicht bewiesen haben könnte es ja andere geben.

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0

Also bei unserem f ist es erfüllt aber ist bei eventuell anderen möglichen das auch erfüllt? Hier dürfen wir eventuell eben nicht unsere gefundenen Lösung benutzen.

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