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Bestimmen Sie den ggT und kgV mit dem Euklidischen Algorithmus UND mittels Primfaktorisierung.

a) 7260, 3311

b) 10,15, 20, 25, 30

von
Hi, das sind Fragestellungen aus dem 6. Schuljahr. Könntest Du also mal etwas mehr Eigeninitiative zeigen und Vorschläge machen, Ansätze oder Fragen dazu mitteilen, damit der naive Leser nicht zu denken genötigt wird, Du seiest geistig ein wenig eingeschränkt?


3 Antworten

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hallo ,

falls du Student bist , würde ich mir dazu die Vorlesung von Christian Spannagel  zu Thema anschauen.

von 36 k
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a) 

7260 = 2^2·3·5·11^2
3311 = 7·11·43

ggT(7260, 3311) = 11
kgV(7260, 3311) = 2^2·3·5·7·11^2·43 = 2185260

7260 / 3311 = 2 R 638
3311 / 638 = 5 R 121
638 / 121 = 5 R 33
121 / 33 = 3 R 22
33 / 22 = 1 R 11
22 / 11 = 2

ggT = 11
kgV = 
7260 * 3311 / 11 = 2185260

von 391 k 🚀
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Zunächst. Schau dir den ===> Steinalgoritmus an; noch verhältnismäßig neu. Die Komplexität des Problems " ggt " ist nicht eben höher als Bit Schieben ...

Ich hab hier nur den solarrechner; meine HP ist schon seit Jahrzehnten kaputt.


7260 : 3311 = 2.1 ( Es wird ABGERUNDET )

7260 : 3311 = 2 Rest 638

3311 : 638 = 5.1 ( Es wird abgerundet )

3311 : 638 = 5 Rest 121

638 : 121 = 5.2 ( Es wird abgerundet )

638 : 121 = 5 Rest 33

121 : 33 = 3.6 ( Es wird AUFGERUNDET )

121 : 33 = 4 Rest ( - 11 )

33 mod 11 = 0  


wie ist das jetzt mit dem Aufrunden? Ich hielt das für meine Entdeckung; böse Zungen behaupteten gar, soo groß sei der Zuwachs an  Geschwindigkeit eh nicht.

Bis mich ein Kommentar darauf verwies, diese Modifikation habe Kronecker eingeführt. Kronecker auch hatte gezeigt, dass die Komvergenzgeschwindigkeit des ursprünglichen Euklidischen Algoritmus = 2 * Stellenzahl; und schneller als seine eigene Modifikation sei nicht möglich.

Jetzt zu den ganzen Primfaktoren. Wie testet man rationell auf Teilbarkeit? Vergesst eure Lehrer ...

ALLE Quersummen gehen " modulo " Laut Wiki besitzt ein Teiler m eine Quersumme der ===> Ordnung n ( m ) dann und nur dann, wenn


m | 10 ^ n - 1


3 ist ein Teiler von 9, das führt auf die gängige Q1 . Aber auch mein Vorschlag, die Q2 , wäre bedenkenswert.

Was ist der Vorteil, wenn wir mit Zweiergruppen arbeiten? Ich sagte doch; wir arbeiten hier nur mit Rest. Zugelassen mod 3 sind nur Null sowie Plus/Minus Eins . Meine Politik beim Bilden der quersumme besteht darin, DASS SICH ALLES ZU NULL WEG INTERFERIERT .

beginnen wir mit 7260


60 mod 3 = 0

72 mod 3 = 0


Mod 9 ist die Q2 übrigens genau so einsetzbar; reizen wir doch mal aus, bis zu welcher dreierpotenz das geht.


60 mod 9 = ( - 3 )

72 mod 9 = 0


Schaut euch mal in wiki an, wie erbärmlich kompliziert dass die Elferprobe geht  - da fehlt effektiv jedes Verständnis von der Q2 ( 11 ist ein Teiler von 99 )  Wieder 7260


60 mod 11 = ( + 5 )

72 mod 11 = ( - 5 )


Geben wir uns erst mal mit diesen Erkenntnissen zufrieden; wir wollen nicht übertreiben.


7260 = 2 * 5 * 726

Jetzt Acht passen; was ist die höchste Zweierpotenz, die du aus 726 ziehen kannst? Als vierermodul V4 ( n )  bezeichne ich die letzten beiden Ziffern, also die 26 . Teilbarkeitsregel


4 | n <===> 4 | V4 ( n )


wir haben somit die Teilbarkeit durch 2 * 3 = 6


7260 = 2 ² * 3 * 5  * 121 = 2 ² * 3 * 5 * 11 ²


Bei 3311 ist ja Teilbarkeit durch 11 trivial. Aber weiter kommen wir zunächst nicht.


3311 = 11 * 301


Jetzt wäre eigentlich Teilbarkeit durch 7 dran. Da gibt es die ===> alternierende Quersumme 3.  Ordnung A3 . Die nutzt uns aber nix, weil sie eben über 3-stellige Zahlen keine Aussage macht.

Die bisherigen, für zweistellige Zahlen geeigneten siebenertests scheitern sämtlich daran, dass sie nicht " modulo " funktionieren. Hier meine Entdeckung; dies beweist eben doch, dass auch noch in der Trivialmathematik noch genügend im Argen liegt.

Meine Entdeckung: Die 100-er Regeln.

" Was ist 100 mod 7? Antwort: 2 "

Also.


100 a + b = 2 a + b mod 7  ( 1 )


Bei 301 setze in ( 1 ) a = 3 ; b = 1  ===> 2 a + 1  = 2 * 3 + 1 = 7 = 0 mod 7


Historische Anmerkung. Wenn du die Teilbarkeitsregel mod 19 in Wiki durch liest, bretterst du auf die nämliche Kalamität; Wiki bemüht die Parameter 10 und 2 .

Ich setzte sie von 10 auf 100 und von 2 auf 5  und - hatte meine erste Hunderterregel gefunden.

Dann vor wenigen Monaten zog Wiki nach mit der 100-er Regel für Teiler 17 .

Darauf hin entdeckte ich das allgemeine Prinzip.

von 1,2 k

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