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Habe gerade Probleme bei folgender Ungleichung:


Bild Mathematik


Hat vielleicht jemand einen Lösungsansatz? Komme irgendwie nicht drauf wie ich alle n auf eine seite bekomm.

von

e^2 / (n + 1)! · 2^{n + 1} ≤ 0.01

2^{n + 1} / (n + 1)! ≤ 1/(100·e^2)

(n + 1)!/2^{n + 1} ≥ 100·e^2

Subst. m = n + 1

m! / 2^m ≥ 100·e^2

m! / 2^m - 100·e^2 ≥ 0

Hier kann man jetzt für m mal ein paar Werte probieren.

Ich komme auf m = 10 bzw n = 9

Das könnte man jetzt noch per Induktion beweisen.

hi101: Wenn das eine Art Beweis (Vorstufe zur Epsilon-Methode) sein soll, dass du es links mit einer Nullfolge zu tun hast, musst da das als solches kennzeichnen. Da genügen grobe Abschätzungen.

Es handelt sich hierbei um eine Taylorentwicklung. Hier das ganze Bsp:Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?

In der Rechnung benutzt du e^2 deren Wert du noch gar nicht kennst ?

Sollte man das nicht lieber mit einer Restgliedabschätzung bei dem Taylorpolynom machen?

Man entwickelt ja sicher e^x an der Stelle 0.

In der kompletten Angeben die ich gepostet habe ist es aber schon gegeben. Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?Der letzte Satz. Daher bin ich davon ausgegangen das ich e^2 nehmen darf.

Die Taylorabschätzung macht man ja gerade dann, wenn es zu mühsam ist e^2 exakt auszurechnen. Wenn man einen TR hat und einfach nur e^2 eintippen braucht dann kann man sich die Taylorabschätzung auch gleich schenken :)

Wie gesagt. Es geht hier sicher um eine Restgliedabschätzung. Das ist eigentlich meistens gefragt wenn es um Taylorpolynome geht.

Ja genau, es geht schon um eine Restgliedabschätzung. Das wär eigentlich mein Ansatz dazu gewesen, aber wenns so nicht funktioniert, weiß ich nicht wirklich weiter ..

2 Antworten

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$$ln( \frac{2^m}{m!}) $$
$$ln( {2^m})-ln( {m!}) $$
$$m \cdot ln( {2})-\sum_{k=1}^m \ln( {k}) $$

von

Hi, damit ist die Ungleichung aber noch nicht nach \( n \) aufgelöst denn in der Summe ist die Unbekannte ja auch noch enthalten.. Ich würde es numerisch machen.

Für die Summe gab es glaubich eine Formel ... oder nicht ?

Im übrigen ist das keine komplette Aufgabenlösung, sondern ein Nachdenkhinweis, wie man die Aufgabe bearbeiten könnte!

Für die Summe gab es glaubich eine Formel ... oder nicht ?

\(\text{ln}(m!)\)?

$$\ln ( a \cdot b \cdot c \cdot \cdots ) = \ln ( a)+\ln ( b)+\ln (  c)+ \cdots $$

Ja, aber wenn Du das hier anwendest, rechnest Du doch wieder dahin zurück, wo Du hergekommen bist... oder?
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Hi, \(n\) steht doch schon auf einer Seite!

Man kann eine solche Ungleichung auch lösen, indem man sich überlegt1, dass die linke Seite monoton fällt und dann mal ein paar Werte für \(n\) einsetzt. Dann ist die Ungleichung in wenigen Schritten gelöst.

1 ggf. über vollständige Induktion

von

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