Lösungen von Anfangswertproblemen finden: y' = Ay + (e^{t},3), y^ (0) = (1,0)

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left[\begin{array}{rr}0 & 2 \\ -1 & 0\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \). Finde die Lösungen folgender Anfangswertprobleme.

(i) \( y^{\prime}=A y+\left[\begin{array}{c}\mathrm{e}^{t} \\ 3\end{array}\right], \quad y^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right] \).

(ii) \( y^{\prime}=A y+\left[\begin{array}{c}0 \\ \cos 2 t\end{array}\right]+y^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right] \)

Ansatz/Problem:

Ich denke, dass das (ii) vermutlich einen Tippfehler in der Aufgabe hat und das kein + sein sollte?

Comments

ja klar.

Löse die (ii) ruhig in der Annahme, dass das Plus ein Komma ist.

Answer 1

Hi, die allgemeine Lösung der Dgl.
$$ y'(t) = A \cdot y(t) +b(t) $$ mit
$$ y(0) = y_0  $$
ist
$$ y(t) = e^{A \cdot (t-t_0)} \cdot \left[ \int_{t_0}^t e^{-A \cdot (s-t_0) } \cdot b(s) ds + y_0 \right]  $$
Jetzt musst Du noch \( e^{A(t-t_0)} \) ausrechnen und das Integral berechnen und Du bist fertig. Das kann man mit der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion machen oder über die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren mit nachfolgender Diagonalisierung der Matrix \( A \)

Answer 2

Hallo

ist so auch möglich:

Comments

Erstmals vielen dank, den ganzen Schritt 1) habe ich gerechnet und nachvollzogen, beim Schritt 2) verstehe ich jedoch nicht ganz was du dort gemacht hast, könntest du das eventuell genauer erklären?

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hier Schriit 2

 

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Das war aber bis jetzt nur die Lösung des homogenen Systems.

Im Weiteren mußt Du Dich um die part. Lösung des inhomogenen Systems kümmern.

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Alles klar, Du verwendest etwas einen anderen Ansatz als wir gelernt haben,
ich habe es mit unserer Methode versucht und bin auf:


gekommen. 

Nun habe ich in Erinnerung dass ich die homogene und die partikuläre Lösung addieren muss (?). Aber wie bestimme ich die partikuläre Lösung? Irgendwie bin ich dort nicht ganz nachgekommen in der Vorlesung. Ich weiss nur dass jetzt der Störterm und am Schluss das Gleichungssystem mit dem Anfangswertproblem gelöst werden muss.

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Hallo

hier nun der Rest der Aufgabe

3.) partikuläre Lösung des inh. Systems:

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und  hier gehts weiter:

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Lösung der Aufgabe:

y_1= -2 cos (sqrt(2) *t) +3 +(e^t)/3

y_2= -sqrt(2) sin (sqrt(2) *t)  -e^t/3

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Oke danke viel vielmals!

bis zur Addition zur homogenen Lösung war mir alles klar.  Ab dort habe ich die werte einfach in meine homogene Lösung eingesetzt, die ich weiter oben aufgeschrieben habe und fertiggerechnet. Das wurde dann auch etwas kompliziert, aber ich bin auf ein Ergebnis gekommen.

Meine Frage ist jetzt, wir hatten in der Vorlesung, dass wir die homogene Lösung mit den Eigenwerten und Eigenvektoren der Matrix bilden. Diese hast du ja auch ausgerechnet. Wie bist du von dort auf deine wesentlich elegantere homogene Lösung gekommen?