Kern & seine Basis bestimmen

Question

Aufgabe:

L: R³ → R² ;  (a,b,c) ↦ ( (a-b) , 2c)

1.Bestimmen Sie den Kern(L) und geben Sie eine Basis des Kerns an.

2.Ist Kern (L) ein Teilraum des R³ ?

3. Überprüfe, ob (4,6) im Bild(L) liegt. Wie sieht die Menge der Vektoren aus, die nicht im Bild liegt?

könnte mir jemand bei bei den Aufgaben helfen?

Zu 1.) L(a,b,c)=((a-b) , 2c)= 0-Vektor

I. a-b=0 -> a=b   II. 2c=0 -> c=0

Aber was genau ist dann denn jetzt der Kern? Als Basis des Kerns hätte ich doch dann (a,a,0) oder?

Zu 2.) Da ich mir den Kern nicht vorstellen kann, weiß ich jetzt auch nicht ob er Teilraum ist.

Zu 3.) (4,6) liegt im Bild, wenn man zB L(6,2,3) hat, doch wie die andere Menge aussieht kann ich mir auch nicht vorstellen.

Comments

Hi, zu 1.):

(a,a,0) ist nicht die Basis, sondern mehr oder weniger eine Beschreibung der Vektoren des Kerns. Da der Kern eindimensional ist, wird es dir sicher leicht fallen, daraus eine Basis zu entnehmen.

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zu 2.)

Die Antwort lautet: Ja. Die Frage ist allerdings ein wenig seltsam, denn nach 1.) ist der Kern sicher ein Vektorraum und auch sicher in IR^3 enthalten.

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Danke erstmal :)

1.Also wäre der Kern=(a,a,0) mit a aus R und die Basis B={(1,1,0)}?

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Ja genau. Und natürlich ist das nicht die Basis, sondern eine Basis!

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Achso klar, dankeschön!

Könntest du mir vielleicht auch bei 3. helfen? Ich weiß ehrlich gesagt nicht, welche Menge sie dort haben wollen.

Soweit wie ich das Verstanden habe ist jeder Vektor aus R² darstellbar und somit jeder andere Vektorraum in der Menge?

Answer 1

Zu 3.) (4,6) liegt im Bild, wenn man zB L(6,2,3) hat, doch wie die andere Menge aussieht kann ich mir auch nicht vorstellen.

wenn du irgendeinen aus dem Kern bei (6,2,3) addierst, hast du immer noch

einen Vektor, dessen Bild (4,6) ist. Also sehen die so aus:

(6,2,3) + a*(0,1,1)

Comments

Was sieht so aus?                        

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Was hat denn diese Antwort mit der Frage zu tun?

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Danke erstmal für die Antwort, jetzt hab ich doch noch eine Frage.
Die Menge, die durch (6,2,3)+a(0,1,1) darstellst, ist ja nur die Menge, die nicht auf (4,6) abbildet.
In der Aufgabe wird jedoch nach der Menge gefragt, die die Funktion L niemals abbilden wird, aber eigt kann man doch alle Vektoren aus R² abbilden? und daher versteh ich die 3. nicht so ganz.