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Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Differentialgleichung 2. Ordnung:

\( -10 \mathrm{u}(\mathrm{x})-3 \mathrm{u}^{\prime}(\mathrm{x})+\mathrm{u} "(\mathrm{x})=-30 x^{2}-8 x+49 \) mit den Bedingungen \( u(0)=-13, u^{\prime}(0)=-11 \)

Lösen Sie das Anfangswertproblem exakt.

\( u(x)= ... \)


Ansatz/Problem:

Das mir zur Verfügung stehende Skript enthält leider nur das Näherungsverfahren Ritz-Galerkin hier ist jedoch die genaue Lösung gefragt.

von

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Zuerst löst Du die homogene Gleichung

-10 u(x) -3u'(x) +u''(x)=0

mittels Ansatzmethode

u= e^{a*x}

a ist in der Literatur oft Lambda.

Hier ein Link zur Herleitung, siehe Blatt 8

http://www.fbmn.h-da.de/~ochs/mathe3/skript/dgl2.pdf

Leitest dann das ganze 2 Mal ab , setzt das in die Aufgabe ein und kommst auf die charakteristische Gleichung

k^2 -3k-10=0

k(1)= -2

k(2)= 5

Mit den Lösungen für k bestimmst Du die homogene Lösung (u.a. aus Tabellen)

u(x)=C(1) e^{-2x} +C(2) e^{5x}

Dann brauchst Du einen Ansatz für die part. Lösung, der lautet

y(p)= A +Bx +Cx^2(auch aus Tabellen)

Diesen leitest Du 2 mal ab und setzt in die Aufgabe ein.

Dann führst Du einen koeffizientenvergleich durch.

Die Lösung der Aufgabe ist

y=y(h) +Y(p)

Zum Schluß setzt Du noch die AWB ein.


Lösung zum Vergleich:

u(x)= 3 x^2 -x -5 e^{-2x} -4 e^{5x} -4

von 114 k 🚀

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