Anwendung des Mittelwertsatzes, K bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei $I \subset \mathbb{R}^{+}$ein abgeschlossenes Intervall auf dem die Funktion

$f: I \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{3 x}{1+\sqrt{x}}$

betrachtet wird. Bestimmen Sie eine Konstante $K>0$, so dass für alle $x, y \in I$ gilt

$|f(x)-f(y)| \leq K|x-y|$

Ansatz/Problem:

Habe die Ableitung der Funktion gebildet und muss nun irgendwie den Mittelwertsatz anwenden hab jedoch nicht so die ahnung wie man ansetzen soll bzw. wie man dann das K bestimmt.