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EDIT(Lu) ursprüngliche Überschrift nach dem Doppelpunkt: "Alle in bestimmtem Vektorr. sind Eig.-Vektoren von gewisser Abb. f."

Hallo an Alle!

Ich habe mich an der Aufgabe, die gleich folgt, jetzt eine geraume Weile lang immer wieder versucht, bin aber irgendwie wohl gedanklich festgefahren und hoffe darauf, dass mir jemand helfen kann, einen besseren Zugang zu derselben Aufgabe zu finden...

__________

Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{K}\), seien weiterhin \(\Phi\) und \(\varphi\) zwei (Basis-)Isomorphismen (bezüglich beliebiger Basen von \(V\)).

Das Folgende soll ein kommutatives Diagramm sein:

Bild Mathematik

Die Aufgabe íst es jetzt, zu beweisen, dass es ein \(\lambda\in\mathbb{K}\) gibt, sodass \(f = \lambda\cdot Id_V\).

__________

Vielen Dank schon einmal!

von

Die Frage scheint entweder schlecht gestellt worden zu sein, zu schwer zu sein oder irgendwie aus anderen Gründen umgangen zu werden...?

EDIT: Ich habe mal versucht nach dem Doppelpunkt in der Überschrift etwas ohne Abkürzungen zu schreiben.

Vielleicht hilft das ja. ie134: Wenn du etwas Verständlicheres für die Überschrift vorschlagen möchtest: Gern!

Die Suche ist nicht sehr gut, um eine allfällig bereits vorhandene ähnliche Frage mit Antwort zu finden. Vielleicht findest du aber doch was, wenn du geschickt suchst(?)

Danke, ich hab was, das trifft sehr genau das was ich brauche:
https://www.mathelounge.de/227946/endomorphismus-beweis-von-phi-circ-circ-phi-forall-phi-mathbb
Leider ist auch diese Frage offen...

Ich habe auch schon diese hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/236236/was-sind-die-mindestanforderung-an-zwei-matrizen-sodass-ba
Die könnte helfen, ist aber offen :D
Danke jedenfalls!

1 Antwort

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man beachte:

https://www.mathelounge.de/236935/darstellungsmatrix-lambda-id_v-beweis-jeder-basis-gleich#c236956

Sei \(M\) die Darstellungsmatrix eines Basiswechsel zweier beliebiger Basen von \(V\). Da \(f\) zu jeder Basis dieselbe Darstellungsmatrix \(A\) muss gelten:

$$ AM = MA $$

Da die zwei Basen mit Dimension \(n\) beliebig sind, ist \(M\) eine beliebige, invertierbare \(n \times n \)-Matrix. Die einzigen Matrizen die kommutativ zu allen (invertierbaren) Matrizen sind, sind die vielfachen der Einheitsmatrix.

Gruß

von 24 k

Danke, das ist ein Wort! :)


Ich muss (leider) zugeben, dass ich so weit schon auf den verschiedensten Wegen gekommen war... :

Da das Diagramm kommutativ ist, gilt:
\(f = \Phi^{-1}\circ A\circ \Phi\).
Nun gilt aber auch
\(f = \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) , also

\(\Phi^{-1}\circ A\circ \Phi ~~=~~ \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) ,damit
\(\varphi\circ\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi\circ\varphi^{-1} ~~=~~ A\)

usw...


...und dass mir gerade der letzte Teil im Beweis fehlt, der bei Dir etwas kurz kam...

Danke nochmal auf jeden Fall!

Ok gut war mir natürlich nicht klar, dass du selber schon so weit warst ;). Ist dir denn der letzte Schritt klar?

Dann wäre ja \(\varphi\circ\Phi^{-1}\) der Basiswechsel \(M\), also gilt \(M\circ A\circ M^{-1} ~=~ A\), also \(A\circ M ~=~ M\circ A\)...

Was mir noch fehlen würde ist der Teil, der zeigt, dass die Matrix \(A = \lambda\cdot E\) ist, wenn \(M\) nxn und invertierbar und beliebig...

Dankeschön nochmal bis hierher... :))

Du musst dir einfach nur folgende Beispiele für \(M\) anschauen:

Sei \(E_{ij}\) die Matrix für die der Eintrag \(a_{ij} = 1 \) und sonst alle Einträge \(0\) sind.

Jetzt setze: \(M = E+E_ {ij} \)

Dann muss gelten: \(A E_{ij} = E_{ij} A \)

Was bedeutet das für die Einträge von \(A\)? Nicht vergessen, \(i,j \in \{1,...,n\} \) beliebig.

Hi Leute, eine Frage: Ist es nicht eigentlich


\(f = φ ° A^{-1} ° φ^{-1} \)


sein? Denn bei Verknüpfungen fängt man doch von rechts an, oder nicht?

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