Kommutatives Diagramm: Beweis: Eigenvektoren der Abbildung?

Question

Aufgabe:

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $\mathbb{K}$, seien weiterhin $\Phi$ und $\varphi$ zwei (Basis-)Isomorphismen (bezüglich beliebiger Basen von $V$).

Das Folgende soll ein kommutatives Diagramm sein:

Es ist jetzt zu beweisen, dass es ein $\lambda\in\mathbb{K}$ gibt, sodass $f = \lambda\cdot Id_V$.

Comments

Die Frage scheint entweder schlecht gestellt worden zu sein, zu schwer zu sein oder irgendwie aus anderen Gründen umgangen zu werden...?

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Danke, ich hab was, das trifft sehr genau das was ich brauche:
https://www.mathelounge.de/227946/endomorphismus-beweis-von-phi-circ…
Leider ist auch diese Frage offen...

Ich habe auch schon diese hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/236236/was-sind-die-mindestanforderung-an…
Die könnte helfen, ist aber offen :D
Danke jedenfalls!

Answer 1

man beachte:

https://www.mathelounge.de/236935/darstellungsmatrix-lambda-id_v-bew…

Sei $M$ die Darstellungsmatrix eines Basiswechsel zweier beliebiger Basen von $V$. Da $f$ zu jeder Basis dieselbe Darstellungsmatrix $A$ muss gelten:

$$AM = MA$$

Da die zwei Basen mit Dimension $n$ beliebig sind, ist $M$ eine beliebige, invertierbare $n \times n$-Matrix. Die einzigen Matrizen die kommutativ zu allen (invertierbaren) Matrizen sind, sind die vielfachen der Einheitsmatrix.

Gruß

Comments

Danke, das ist ein Wort! :)

Ich muss (leider) zugeben, dass ich so weit schon auf den verschiedensten Wegen gekommen war... :

Da das Diagramm kommutativ ist, gilt:
$f = \Phi^{-1}\circ A\circ \Phi$.
Nun gilt aber auch
$f = \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi$ , also

$\Phi^{-1}\circ A\circ \Phi ~~=~~ \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi$ ,damit
$\varphi\circ\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi\circ\varphi^{-1} ~~=~~ A$

usw...

...und dass mir gerade der letzte Teil im Beweis fehlt, der bei Dir etwas kurz kam...

Danke nochmal auf jeden Fall!

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Ok gut war mir natürlich nicht klar, dass du selber schon so weit warst ;). Ist dir denn der letzte Schritt klar?

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Dann wäre ja $\varphi\circ\Phi^{-1}$ der Basiswechsel $M$, also gilt $M\circ A\circ M^{-1} ~=~ A$, also $A\circ M ~=~ M\circ A$...

Was mir noch fehlen würde ist der Teil, der zeigt, dass die Matrix $A = \lambda\cdot E$ ist, wenn $M$ nxn und invertierbar und beliebig...

Dankeschön nochmal bis hierher... :))

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Du musst dir einfach nur folgende Beispiele für $M$ anschauen:

Sei $E_{ij}$ die Matrix für die der Eintrag $a_{ij} = 1$ und sonst alle Einträge $0$ sind.

Jetzt setze: $M = E+E_ {ij}$

Dann muss gelten: $A E_{ij} = E_{ij} A$

Was bedeutet das für die Einträge von $A$? Nicht vergessen, $i,j \in \{1,...,n\}$ beliebig.

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eine Frage: Ist es nicht eigentlich

$f = φ ° A^{-1} ° φ^{-1}$

sein? Denn bei Verknüpfungen fängt man doch von rechts an, oder nicht?