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Aufgabe:

Sei VV ein endlichdimensionaler Vektorraum über K\mathbb{K}, seien weiterhin Φ\Phi und φ\varphi zwei (Basis-)Isomorphismen (bezüglich beliebiger Basen von VV).

Das Folgende soll ein kommutatives Diagramm sein:

Bild Mathematik

Es ist jetzt zu beweisen, dass es ein λK\lambda\in\mathbb{K} gibt, sodass f=λIdVf = \lambda\cdot Id_V.

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Die Frage scheint entweder schlecht gestellt worden zu sein, zu schwer zu sein oder irgendwie aus anderen Gründen umgangen zu werden...?

 

Danke, ich hab was, das trifft sehr genau das was ich brauche:
https://www.mathelounge.de/227946/endomorphismus-beweis-von-phi-circ…
Leider ist auch diese Frage offen...

Ich habe auch schon diese hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/236236/was-sind-die-mindestanforderung-an…
Die könnte helfen, ist aber offen :D
Danke jedenfalls!

1 Antwort

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man beachte:

https://www.mathelounge.de/236935/darstellungsmatrix-lambda-id_v-bew…

Sei MM die Darstellungsmatrix eines Basiswechsel zweier beliebiger Basen von VV. Da ff zu jeder Basis dieselbe Darstellungsmatrix AA muss gelten:

AM=MA AM = MA

Da die zwei Basen mit Dimension nn beliebig sind, ist MM eine beliebige, invertierbare n×nn \times n -Matrix. Die einzigen Matrizen die kommutativ zu allen (invertierbaren) Matrizen sind, sind die vielfachen der Einheitsmatrix.

Gruß

Avatar von 23 k

Danke, das ist ein Wort! :)


Ich muss (leider) zugeben, dass ich so weit schon auf den verschiedensten Wegen gekommen war... :

Da das Diagramm kommutativ ist, gilt:
f=Φ1AΦf = \Phi^{-1}\circ A\circ \Phi.
Nun gilt aber auch
f=φ1Aφf = \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi , also

Φ1AΦ  =  φ1Aφ\Phi^{-1}\circ A\circ \Phi ~~=~~ \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi ,damit
φΦ1AΦφ1  =  A\varphi\circ\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi\circ\varphi^{-1} ~~=~~ A

usw...


...und dass mir gerade der letzte Teil im Beweis fehlt, der bei Dir etwas kurz kam...

Danke nochmal auf jeden Fall!

Ok gut war mir natürlich nicht klar, dass du selber schon so weit warst ;). Ist dir denn der letzte Schritt klar? 

Dann wäre ja φΦ1\varphi\circ\Phi^{-1} der Basiswechsel MM, also gilt MAM1 = AM\circ A\circ M^{-1} ~=~ A, also AM = MAA\circ M ~=~ M\circ A...

Was mir noch fehlen würde ist der Teil, der zeigt, dass die Matrix A=λEA = \lambda\cdot E ist, wenn MM nxn und invertierbar und beliebig...

Dankeschön nochmal bis hierher... :))

Du musst dir einfach nur folgende Beispiele für MM anschauen:

Sei EijE_{ij} die Matrix für die der Eintrag aij=1a_{ij} = 1 und sonst alle Einträge 00 sind.

Jetzt setze: M=E+EijM = E+E_ {ij}

Dann muss gelten: AEij=EijAA E_{ij} = E_{ij} A

Was bedeutet das für die Einträge von AA? Nicht vergessen, i,j{1,...,n}i,j \in \{1,...,n\} beliebig.

eine Frage: Ist es nicht eigentlich


f=φ°A1°φ1f = φ ° A^{-1} ° φ^{-1}


sein? Denn bei Verknüpfungen fängt man doch von rechts an, oder nicht?

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