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Ich soll sagen, welche folgenden Teilmengen wegzusammenhängend oder zusammenhängend sind:


M1={x=(x1,x2,x3): x12 + x22 < x32} ⊂ ℝ3,

M2={x=(x1,x2,x3): x12 + x22 ≤ x32} ⊂ ℝ3,

M3={x=(x1,x2):(x1∈ℚ)∧(x2∈ℚ)} ⊂ℝ2 und

M4={x=(x1,x2):(x1∈ℚ)∨(x2∈ℚ)} ⊂ℝ2 .


Ich würde ja anfangen diese Teilmengen zu skizzieren, weil ich dann ja meißtens schon ablesen kann, ob sie zusammenhängend oder wegzusammenhängend sind. Aber ich weiß leider nicht wie ich mir die Teilmengen vorstellen kann, um sie zu zeichen.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Danke

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M1 und M2 haben als Rand einen unendlichen Kegel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=infinite+cone&lk=1&a=ClashPref…

Jetzt kann z betraglich einfach noch grösser sein.

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Hier ein Bild, wie {(x1,x2,x3)R3  x12+x22=x32}\{(x_1, x_2, x_3)\in\mathbb{R}^3\ |\ x_1^2+x_2^2=x_3^2\} aussieht: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3Dz^2

Dann solltest du dir die ersten beiden Mengen vorstellen können.

Bei der dritten und vierten Menge wird's natürlich schwierig, die zu zeichnen.

Tipp: Aus Wegzusammenhang folgt Zusammenhang (andersrum nicht: Es gibt zusammenhängende Mengen, die nicht wegzusammenhängend sind).

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ich würde sagen, dass denn

M2={x=(x1,x2,x3): x12 + x22 ≤ x32} ⊂ ℝ

wegzusammenhängend ist.

Und M1 nur zusammenhängend.

Richtig, M2M_2 ist wegzusammenhängend.
Aber wieso sollte M1M_1 zusammenhängend sein?

Warum ist M1Nicht zusammenhängend?
Du weißt ja, wie M1M_1 aussieht. Und dann solltest du zwei nichtleere disjunkte offene Teilmengen von M1M_1 finden, deren Vereinigung ganz M1M_1 ist.

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