Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Question

Hallo :)

Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich leider überhaupt nicht klar komme.

Gegeben ist die Fkt. f(x)=x^3-2x. Die Frage dazu lautet: Erfüllt die Funktion im Intervall [-2,1] die Voraussetzungen des MWS der Differenzialrechnung? Bestimme ggf. einen Zwischenwert!

Also ich weiß dass die Fkt f(x) auf [-2,1] stetig und auf (-2,1) differenzierbar sein muss.......also müsste man jetzt die Differenzierbarkeit prüfen oder? Wenn ja, wie stelle ich das an? Ich habe mich schon versucht schlau zu machen aber irgendwie verstehe ich das noch nicht.....könnte mir das jemand erklären?

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Comments

Die Differenzierbarkeit kannst du notfalls über die Definition überprüfen, aber ganz ehrlich, wenn ihr bereits beim Mittelwertsatz angekommen seid, dann müsstet ihr doch schon die Diffbarkeit von Polynomen besprochen haben oder? :)

Answer 1

Hi, die Funktion \( f(x) \) ist als Summe von stetig differenzierbaren Funktionen wieder stetigdifferenzierbar. Weiter gilt
$$  \frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)} = 1 $$
Einen Zwischenwert \( \xi \) findest Du also aus der Gleichung
$$ f'(\xi) = 3\xi^2 -2 = 1  $$ Die Lösung ist \( \xi_{1,2} = \pm 1 \) Im offenen Intervall \( (-1,2) \) liegt also nur die Nullstelle \( \xi_2 = 1\)