Aus der Vorlesung ist der Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung bekannt: Ist \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Dann existiert \( \xi \in[a, b] \) mit
\( f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \)
Beweisen Sie die verallgemeinerte Version des MWS:
Seien \( f, \rho:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit nicht-negativer Funktion \( \rho \), also \( \rho(x) \geq 0 \) für \( x \in[a, b] \). Dann existiert \( \xi \in[a, b] \) mit
\( f(\xi) \int \limits_{a}^{b} \rho(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{a}^{b} f(x) \rho(x) \mathrm{d} x \)
Ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll.
Danke im voraus.
