Rekonstruktion von Funktionen

Question

Bestimmen sie die Funktion mit Hilfe von Gleichungssystemen.

a) Grad 2, Extremum bei x=1, Achsenschnittpunkte bei P(0|-3) und Q(5|0)

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6)

Answer 1

a) Grad 2, Extremum bei x=1, Achsenschnittpunkte bei P(0|-3) und Q(5|0)

Weil Extremum immer genau zwischen den beiden Nullstellen ==> zweite Nullstelle bei x = 1-4 = -3.

Daher Ansatz:

y = a(x+3)(x-5)

Nun noch P einsetzen und a bestimmen. 

-3 = a(3)(-5)

-3/((3*(-5)) = a

1/5 = a

y = 1/5 (x+3)(x-5) = 1/5 (x^2 - 2x - 15) = 1/5 x^2 -2/5 x - 3

Kontrolle:

 ~plot~ 1/5 (x+3)(x-5); 1/5 x^2 -2/5 x - 3 ~plot~

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6) 

Wegen Sattelpunkt ist x=0 eine (mindestens) dreifache Nullstelle. Daher Ansatz:

y = x^3(ax + b) = ax^4 + bx^3 

Nun mit Hilfe von "Tiefpunkt P(-2|-6)" 2 Gleichungen aufstellen, mit denen du a und b bestimmen kannst.

Comments

Ich verstehe nicht wie du auf die Gleichung kommst

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Du weisst, was ein Sattelpunkt und was ein Ursprung ist?

https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatensystem#Koordinatenursprung.2C_Pol

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

Answer 2

Aufgabe b.) konventioneller gerechnet

Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6) 

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

Sattelpunkt im Ursprung, 
( 0  | 0 )
e entfällt

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

f ´( 0 ) = 0  => d = 0
f ´´( 0 ) = 0 => c = 0

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x

Tiefpunkt P(-2|-6) 
f ( -2 ) = -6
f ´ ( -2 ) = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Geht gleich weiter.

Comments

f ( x ) = 1.125 * x^4 + 3*x^3

Answer 3

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2|-6)

Sattelpunkte sind immer Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Hier liegt er im Ursprung. Der Graph hat im Wendepunkt eine dreifache Nullstelle:

\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3) \)

Tiefpunkt P(-2|...)      1. Ableitung Nullsetzen.

\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2) \)

\(f'(-2)=a(-32-12N)=0 \)

\(N=-\frac{8}{3}\)

\(f(x)=a(x^4+\frac{8}{3}x^3) \)

Tiefpunkt P(-2|-6):

\(f(-2)=a( 16-\frac{64}{3})=a(-\frac{16}{3} )=-6    \)

 \( a=\frac{9}{8}   \)

\(f(x)=\frac{9}{8}(x^4+\frac{8}{3}x^3)\)

Answer 4

Ich benutzte immer den Rechner für Steckbriefaufgaben zur Hilfe und Kontrolle.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

a) Grad 2, Extremum bei x = 1, Achsenschnittpunkte bei P(0 | -3) und Q(5 | 0)

Eigenschaften
f'(1) = 0
f(0) = -3
f(5) = 0

Gleichungssystem
2a + b = 0
c = -3
25a + 5b + c = 0

Errechnete Funktion
f(x) = 0,2·x² - 0,4·x - 3

b) Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt P(-2 | -6)

Eigenschaften
f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f(-2) = -6
f'(-2) = 0

Gleichungssystem
e = 0
d = 0
2c = 0
16a - 8b + 4c - 2d + e = -6
-32a + 12b - 4c + d = 0

Errechnete Funktion
f(x) = 1,125·x^4 + 3·x^3

Sollten nach dem Aufstellen des Gleichungssystems bereits einige Parameter direkt bekannt sein, setzt man diese zunächst ein und vereinfacht die anderen Gleichungen. Dann löst man das Gleichungssystem. Empfehlenswert ist dann meist das Additionsverfahren, aber man kann auch das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren benutzen.