Lineare Abhängigkeit und Dimension der Vektoren beweisen

Question

Aufgabe:

a) Es sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum, \( B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \) eine Basis von \( V \) und \( v \in V \) ein beliebiger Vektor mit \( v=\lambda_{1} b_{1}+\ldots+\lambda_{n} b_{n} \) und \( v \neq 0 . \) Zeigen Sie: Gilt \( \lambda_{i}=0 \), so sind \( v \) und \( b_{i} \) linear unabhängig.

b) Es sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( W_{1}, \ldots, W_{n} \) Untervektorräume von \( V . \) Zeigen Sie, dass gilt

\( \operatorname{dim}\left(W_{1}+\ldots+W_{n}\right) \leq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\ldots+\operatorname{dim}\left(W_{n}\right) \)

Answer 1

Zu (a)

Betrachte \( \alpha v + \beta b_i = 0 \) dann gilt wegen der Voraussetzung

$$ \alpha \sum_{k \ne i}^n \lambda_k b_k + \beta b_i = 0  $$ also

$$ \sum_{k=1}^n \mu_k b_k = 0  $$ mit \( \mu_k = \alpha \lambda_k \text{ für } k \ne i \) und \( \mu_i = \beta \)

Weil \( b_k \) eine Basis von \( V \) ist folgt \( \mu_k = 0 \text{ für } k=1,...,n \)  also folgt \( \beta = 0 \) und \( \alpha = 0 \) weil nicht alle \( \lambda_k \text{ für } k \ne i  \) Null sind, weil ja \( v \ne 0 \) gilt. Daraus folgt die lineare Unabhängigkeit von \( v \) und \( b_i \).

Zu (b) siehe hier

http://www.mathepedia.de/Dimension.aspx

Comments

(a) ist schlüssig

könntest du zu (b) was genaueres sagen?

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Was ist an dem angeführten Beweis unklar? Hast Du den durchgearbeitet?