Sei F(x,y,z) = x^4 +2x cos y +sin z. Partielle Ableitung berechnen?

Question

Sei F(x,y,z) = x⁴ +2x cos y +sin z.Zeigen, dass für hinreichend kleine x,y,z die Gleichung F(x,y,z) = 0 nach z aufgelöst werden kann und berechnen Sie für die Lösungsfunktion z(x,y) die partiellen Ableitungen ∂z/∂x und ∂z/∂y.
!LG

Answer 1

musst du erst mal prüfen, dass dF / dz (0;0;0)  ungleich 0 ist.

dF / dz (x,y,z) = cos(z) und bei (0;0;0) ist es 1 also ungleich 0.

damit gibt es eine implizite Funktion z(x,y) in der Nähe des Nullpunktes.

Die partiellen Ableitungen sind:

dz / dx =  -  dF/dx     /        dF/dz
           =  -  ( 4x^3 + 2 cos(y) )   /    cos(z) 

dz / dy =  - 2x * sin(y) /  cos(z)