Aufgabe:
Sei \( B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix mit \( \rho(B)<1 \) und lauter reellen Eigenwerten, von denen \( \lambda_{\min } \) der kleinste und \( \lambda_{\max } \) der größte Eigenwert ist. Betrachten Sie zu gegebenem \( x_{0}, b \in \mathbb{R}^{n} \) für festes \( \omega \in \mathbb{R} \) das \( \omega \)-Relaxationsverfahren
\( \widetilde{x}_{k+1}=B_{\omega} \widetilde{x}_{k}+b_{\omega} \quad \text { mit } \quad B_{\omega}=(1-\omega) I+\omega B \quad, \quad b_{\omega}=\omega b \)
Zeigen Sie:
(a) \( \rho\left(B_{\omega}\right)<1 \Rightarrow \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \widetilde{x}_{k} \rightarrow x=B x+b \).
(b) \( \rho\left(B_{\omega}\right)<1 \quad \Leftrightarrow \quad 0<\omega<\frac{2}{1-\lambda_{\min }} . \)
(c) \( \min _{\omega \in \mathbb{R}}\left(\rho\left(B_{\omega}\right)\right)=\frac{\lambda_{\max }-\lambda_{\min }}{2-\lambda_{\max }-\lambda_{\min }} \).
