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Wir betrachten die Funktion f : (0, ∞) → ℝ, x → x1/x

a) Beweisen Sie, dass f nur eine kritische Stelle besitzt. Finden Sie diese Stelle x0.

b) Beweisen Sie, dass f streng monoton wachsend auf (0, x0) und streng monoton fallend auf (x0, ∞) ist.

c) Beweisen Sie, dass lim (x→0) f(x) = 0 und lim (x→∞) f(x) = 1 ist.

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Tipp:

$$ { x }^{  \frac { 1 }{ x }}={ e }^{  \frac { 1 }{ x }ln(x)} $$

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Hi,
(1) $$ f(x) = x^{ \frac{1}{x} } = e^{ \frac{1}{x} \ln(x) } $$ Es gilt
$$ f'(x) = x^{ \frac{1}{x} } \frac{1}{x^2} \left[ \ 1 - \ln(x) \ \right]  $$ Daher ist der einzige kritische Punkt bei \( \ln(x) = 1 \) also bei \( x = e \)

(2)
Ob \( f(x)  \) monoton wächst oder fällt hängt nur davon ab, ob  \( 1 - \ln(x) \) größer oder kleiner Null ist, also ab \( x > e \) oder \( x < e \) gilt. Für \( x > e \) wird der Ausdruck kleiner Null und damit ist die Funktion monoton fallend. Genauso kann man monoton wachsend zeigen

(3)
mit L'Hospital folgt $$ \lim_{x \to \infty}\frac{ \ln(x) }{x } = \lim_{x \to \infty}\frac{ 1 }{x } \to 0  $$ also folgt \( \lim_{x \to \infty} f(x) \to 1 \)
Für $$ \lim_{x \to 0^+ } \frac{ \ln(x) }{x }  \to -\infty  $$ also folgt \( \lim_{x \to 0^+ }f(x) \to 0 \)

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