Überlegen Sie, wie der kleinste affine Unterraum bestimmt werden kann, der durch die Punkte verläuft (Dimension)

Question

Aufgabe:

Überlegen Sie sich, wie der kleinste affine Unterraum \( A \) bestimmt werden kann, der durch die Punkte

\( P_{0}:=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right), P_{1}:=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ -10 \\ 0 \end{array}\right), P_{2}:=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right), P_{3}:=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) \)

verläuft. Beschreiben Sie kurz Ihr Vorgehen. Bestimmen Sie

a) die Dimension \( A \), und

b) den Durchschnitt von \( A \) mit der durch die Gleichung \( 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}-2 x_{4}+6=0 \) gegebenen Hyperebene.

Begründen Sie Ihre Aussage.

Answer 1

bilde mal die Differenzen von Po mit den anderen
P1-Po = ( 0 ; 2; -11; -6)   = v1
P2-P0=( -1 ; 4; -4; -4)   = v2
P3-Po=(-2;6;3;-2)   = v3

Diese drei erzeugen also den zu A gehörigen Unterraum von R^4
und weil   v3 =  2*v2  -  v1 ist, und v1, v2 lin. unabh. bilden die eine Basis des U-Raumes
also ist  A = P0 + lin.Hülle von v2,v1

A =  (3;-4;1;6) + r* ( 0 ; 2; -11; -6)+s*( -1 ; 4; -4; -4)     #
 also dim=2

und der Schnitt bekommst du durch einsetzen in x1 bis x4
4*(3-s) + (-4+2r+4s) +(1-11r-4s) -2(6-6r-4s)+6=0

3r -20s +3 =0
also s=0,15r+0,15  Das in # einsetzen und zusammenrechnen,gibt eine Gleichung
für den Schnitt, ist also ein 1-dim affiner Unterraum

Comments

Bei mir kommt 3+3r+4s=0

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Beim auflösen der Gleichung für den Schnitt hast du dich verrechnet.

3r+4s+3 = 0, also erhält man für s = 3/4r+ 3/4.

Was muss man denn nach dem einsetzen machen?

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wenn du jetzt für s einsetzt, hast du nachher eine gleichung

mit einem Vektor und einmal s* Vektor, also einen ein-dim affinen Raum