Funktionsgleichung 4. Grades ermitteln

Question

Wie heißt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4.Grades,die an der Stelle xs= 0 einen Sattelpunkt und an der Stelle xe=2 eine lokale Extremstelle hat? Außerdem hat diese Funktion im Punkt( 1;-0,5) eine Tangente mit dem Anstieg m=-6.

Answer 1

Wie heißt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4.Grades,
die an der Stelle xs= 0 einen Sattelpunkt und an der Stelle xe=2 eine lokale
Extremstelle hat? Außerdem hat diese Funktion im Punkt( 1;-0,5)
eine Tangente mit dem Anstieg m=-6.

f ( x ) = a * x⁴ + b * x³ + c * x² + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x³ + 3 * b * x² + 2 * c * x + d
f ´´( x ) = 12 * a * x² + 6 * b * x + 2 * c

Sattelpunkt
f ´( 0 ) = 0 ( Steigung 0 )
f ´( x ) = 4 * a * x³ + 3 * b * x² + 2 * c * x + d = 0  => d = 0
f ´´( 0 ) = 0 ( Krümmung 0 )
f ´´( 0 ) = 12 * a * x² + 2 * b * x + 2 * c  => c = 0

f ( x ) = a * x⁴ + b * x³ + e
f ´( x ) = 4 * a * x³ + 3 * b * x²
f ´´( x ) = 12 * a * x² + 6 * b * x

f ´ (  2 ) = 0 ( lokale Extremstelle )
f ´( 2 ) = 4 * a * 2³ + 3 * b * 2²  = 0
f ´( 2 ) = 32 * a  + 12 * b  = 0

Tangentenpunkt
f ( 1 ) = -0.5
f ´( 1 ) = -6
f ´( 1 ) = 4 * a * 1³ + 3 * b * 1²  = -6
f ´( 1 ) = 4 * a + 3 * b  = -6 

32 * a  + 12 * b  = 0
4 * a + 3 * b  = -6   | * 8

32 * a  + 12 * b  = 0
32* a + 24 * b  = -48   | abziehen
-------------------------
-12 * b = 48
b = -4

32 * a  + 12 * b  = 0
32 * a  + 12 * (-4)  = 0
32 a = 48
a = 1.5

f ( 1 ) = a * x⁴ + b * x³ + e = -0.5
f ( 1 ) = 1.5 * 1⁴ + (-4) * 1³  + e = -0.5
e =  2

f ( x ) = 1.5 * x⁴ - 4 * x³ + 2

Comments

Vielen

Ihnen noch einen schönen Abend :)