Wie heißt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4.Grades,
die an der Stelle xs= 0 einen Sattelpunkt und an der Stelle xe=2 eine lokale
Extremstelle hat? Außerdem hat diese Funktion im Punkt( 1;-0,5)
eine Tangente mit dem Anstieg m=-6.
f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c
Sattelpunkt
f ´( 0 ) = 0 ( Steigung 0 )
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d = 0 => d = 0
f ´´( 0 ) = 0 ( Krümmung 0 )
f ´´( 0 ) = 12 * a * x^2 + 2 * b * x + 2 * c => c = 0
f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2
f ´´( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x
f ´ ( 2 ) = 0 ( lokale Extremstelle )
f ´( 2 ) = 4 * a * 2^3 + 3 * b * 2^2 = 0
f ´( 2 ) = 32 * a + 12 * b = 0
Tangentenpunkt
f ( 1 ) = -0.5
f ´( 1 ) = -6
f ´( 1 ) = 4 * a * 1^3 + 3 * b * 1^2 = -6
f ´( 1 ) = 4 * a + 3 * b = -6
32 * a + 12 * b = 0
4 * a + 3 * b = -6 | * 8
32 * a + 12 * b = 0
32* a + 24 * b = -48 | abziehen
-------------------------
-12 * b = 48
b = -4
32 * a + 12 * b = 0
32 * a + 12 * (-4) = 0
32 a = 48
a = 1.5
f ( 1 ) = a * x^4 + b * x^3 + e = -0.5
f ( 1 ) = 1.5 * 1^4 + (-4) * 1^3 + e = -0.5
e = 2
f ( x ) = 1.5 * x^4 - 4 * x^3 + 2
