Gleichheit von Logarithmusfunktion zeigen: ln(x + y) = ln(x) + ln(1 + y /x ).

Question

Es gilt für x, y > 0, dass ln(x + y) = ln(x) + ln(1 + y /x ).

Stimmt die gleichheit.

ich habe es mit verschieden zahlen getestet und das gilt..aber kann man das auch allgemein zeigen.=?

Comments

Es scheint zumindest viele "Lösungen" zu geben: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+ln%28x+%2B+y%29+%3D+ln%28x%29+%2B+ln%281+%2B+y+%2Fx+%29

Könnte sein, dass du das mit Logarithmengesetzen zeigen könntest: Die sind hier zusammengestellt:

https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

Answer 1

ln(x + y) = ln(x) + ln(1 + y /x )  | Brüche addieren

= ln(x) + ln((x+y)/x)      | zweites Logarithmengesetz

= ln(x) + ln(x+y) - ln(x) 

= ln(x+y)       

q.e.d. 

Answer 2

ln ( x + y ) = ln ( x ) + ln ( 1 + y /x )

ln ( x + y ) = ln ( x * ( 1 + y  / x ) )
ln ( x + y ) = ln ( x + xy  / x )
ln ( x + y ) = ln ( x + y )  | Bingo

Answer 3

Hi, die Gleichheit lässt sich einfach mit
$$ \ln(x + y) = \ln \left(x\cdot\left(1 + \frac yx \right)\right) = \ln(x) + \ln\left(1 + \frac yx \right) $$zeigen. Damit dies gilt, muss \((x+y)>0\) gelten, da sonst die linke Seite nicht definiert ist. Weiter muss auch \(x>0\) gelten, damit die Umformung erlaubt und die rechte Seite definiert ist. Mit den genannten Voraussetzungen \(x,y>0\) ist aber beides sicher erfüllt..