Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag. a) (2-i)/(2-3i). b) ( (1+i)/(1-i))^{-4}.

Question

Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von:

a) \( \frac{2-i}{2-3 i} \)
b) \( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-4} \)
c) allen Lösungen von \( z^{2}=i \)
d) \( \operatorname{Re}(2+3 i) \)

Comments

Vermutlich musst du bei den Resultaten von Johann Ribert noch explizit den Real- und den Imaginärteil ablesen und den Betrag der Resultate ausrechnen.

Zu c): Was weisst du über Polarkoordinaten, Winkel und Betrag von komplexen Zahlen?

Z.B: Darfst du verwenden, dass sich bei der Multiplikation 2er Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel (Polardarstellung) addieren?

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Vermutlich hast du Recht, was was die Beträge, sowie das Ablesen von Real- und Imaginärteil betrifft. Polarkoordinaten und Winkel haben wir, meines Wissens, noch nicht wirklich besprochen, war aber auch krank als das dran kam; aus dem Sript ist es zumindest nicht ersichtlich.

Der Betrag in ℂ, inklusive einfacher Rechenregeln+Dreiecksungleichung wurden eingeführt.

Zu deinem Beispiel: Da bin ich mir nicht sicher. Da steht nur, dass die Multiplikation in ℂ einer Drehstreckung in ℝ² entspricht.

(Weiß das vielleicht einer von euch HHU-Studenten, die hier offensichtlich mitlesen?)

Gibt es denn noch einen anderen/einfacheren Lösungsweg, der sich nicht auf tiefergreifendes Wissen stützt?

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Z.B: Darfst du verwenden, dass sich bei der Multiplikation 2er Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel (Polardarstellung) addieren?

Entspricht exakt der Drehstreckung in deinem Skript.

Answer 1

Hier mal die Lösungen mit ein paar Rechenschritten...

a) \( \frac{(2-i) \cdot(2+3 i)}{(2-3 i) \cdot(2+3 i)}=\frac{7+4 i}{13} \frac{7}{13}+\frac{4}{13} i \)

b) \( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-4}=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{4}=\left(\frac{(1-i) \cdot(1-i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{4} \)
$$ =\left(\frac{(1-i) \cdot(1-i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{4}=\left(\frac{-2 i}{2}\right)^{4}=1 $$

c) \( \pm e^{i \pi / 4}=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)

d) 2

Comments

Könntest du vielleicht nochmal genauer erklären, wie du auf die Lösung von c) kommst?

Hast du da irgendwie eine pq-Formel aufgestellt?

Alles andere ist mir klar, aber hier weiß ich so gar nicht, wie ich rechnen soll. Wäre echt super!

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c) Den genauen Hintergrund kenne ich nicht. Es ist so, dass man beim Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl auch n Lösungen bekommt. Das ist etwas, dass man wissen muss, wenn man die Aufgabe richtig lösen will. Die Formel, die das beschreibt heißt Formel von Moivre. Es gilt:

\( \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{j \frac{\varphi+k \cdot 2 \pi}{n}} \)
\( k=0,1,2, \ldots, n-1 \)

Wenn Du die befolgst, dann erhältst Du auch die Lösungen.
φ = 90°; n = 2; k = 0, 1; r = 1;

Vielleicht findet sich noch jemand, der das genauer erklären kann.

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ALso die Lösung von d) ist meiner meinung nach folgende:Re(2+3i)

=2 also haben wir grundsätzlich erstmal die zahl zwei die wir nun ja auch komplex darstellen können:

2 = 2+0*i

dann ist Re = 2 Im = 0 und |2+i0| =Wurzel(4+0) = 2 Also alles 2 aber nur hinzuschreiben = 2 reicht glaube ich nicht.

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Zugegeben die Antwort ist etwas kurz im letzten Fall zu kurz; also Danke für die Ergänzung.