Durchschnittliches Guthaben (Exponentielles Wachstum)

Question

Max legt einmalig einen Betrag von 12730 GE auf ein Sparbuch, das mit einem nominellen Zinssatz von 8,3% kontinuierlich verzinst wird.

Wie groß ist das durchschnittliche Guthaben zwischen dem ersten und dem siebzehnten Jahr ab Beginn der Einzahlungen?

Answer 1

$$ \overline{K}(T)=\frac {K_0}T \,\cdot \, \sum_{t=0}^T \, (1+p)^t$$

Comments

Wenn ich die Zahlen in deine Lösung einsetze komme ich auf kein richtiges Ergebnis, ich glaube, dass ich da was falsch mache. Wie muss ich denn die Zahlen richtig einsetzen?

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Du kannst da nicht direkt was einsetzen, weil das keine "Fertigformel" ist, obwohl sie vielleicht danach aussieht.

Es ist eher als Denkanstoss zu verstehen und formuliert in mathematischer Schreibweise die Aufgabenstellung.

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Bevor ichs vergesse - damit lässt sich rechnen:

$$ \sum_{t=0}^T (p+1)^t =\frac{  (p+1)^{T+1}-1}p $$

Answer 2

Exponentielles Wachstum
K(t) = 12730 * 1.083 ^t

Stammfunktion
∫ 12730 * 1.083 ^t dt
159653,92 * 1.083 ^ t

[ 159653,92 * 1.083 ^ t ]₁ ¹⁷
446341

Durchschnitt
446341 / 16 = 27896

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Comments

Vielen Dank erstmal für deine Antwort, allerdings stimmt das Ergebnis leider nicht. Es sollte 28887.05 rauskommen.

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Der Kollege hat nicht berücksichtigt, dass die Verzinsung üblicherweise jährlich erfolgt.

Die Integrationslösung setzt voraus, dass zu jeder Planck-Zeit die Zinsen ausgerechnet und dem Kapital zugeschlagen werden. Daher ist das so gewonnene Ergebnis zu hoch.

Beginnt man hingegen erst ein Jahr zuspät mit der Integration,  wird diese Abweichung durch den zusätzlichen Fehler überkompensiert ...

Rechenweg komplett falsch, Ergebnis fast richtig - setzen sechs!

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~plot~ 12730 * 1.083 ^x ; [[ 0 | 18 | 0 | 50000 ]] ~plot~

Ein neues Angebot meinerseits :

Bei den Integrationsgrenzen 0 und 18 und durch 17 geteilt wären es

28724

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Angebot abgelehnt - Ansatz falsch - setzen sechs!

Hab ich mich womöglich wiederholt ?

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Der Kollege hat nicht berücksichtigt,
dass die Verzinsung üblicherweise jährlich erfolgt.
Rechenweg komplett falsch,

Ich bin immer noch der Meinung relativ richtig gerechnet zu haben.
Ich bin allerdings kein ( Bank- ) Kaufmann.

So wie ich mir die Angelegenheit vorstelle :
Die Kapitalverzinsung als exponentielle Funktion anzusehen
ist ja wohl richtig.

In früheren Zeiten, als alles noch zu Fuß gerechnet werden mußte,
wurden die Berechnungen vereinfacht durchgeführt.
Tagesgeld, lineare Verzinsung, jährliche Zinsformeln usw.

Heutzutage kann die Kaptilverzinsung doch sekundengenau nach
Exponentialfunktion, Diff- oder Integralrechnung in null-komma-nichts
exakt durch den Computer durchgeführt werden.

Wird das nicht gemacht ? Ist das nicht üblich ?

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Die BWL / VWL - Leute wenden noch immer die Formeln wie vor Hundert Jahren an.

Das hat zunächst juristische Gründe, weil - wie Du siehst - durch "Modernisierung" Abweichungen entstehen, die vielleicht auf Omas Sparbuch unerheblich scheinen, aber im Milliardenbreich schon mal Differenzen im Lebensarbeitsertragsvolumen eines Durchschnittsverdieners  erzeugen können.

Die Verzinsung erfolgt nach wie vor in Intervallen und nicht als kontinuierlicher Verlauf.

Eine Veränderung der Intervalle hat Einfluss auf den Effektivzins.

Beispiel:

1% Zinsen pro Monat in monatlicher Abrechnung mit Zinszuschlag monatlich ergibt NICHT das gleiche wie 12% Zinsen in jährlicher Abrechnung

Die Berechnung der Zinstage erfolgt übrigens nicht international gleich - hier muss man aufpassen, wenn man seine Millionen, die man sich bis zur Rente erspart hat, im Ausland anlegen möchte.