Analytische Geometrie: Fehlende Koordinaten eines Tetraeders berechnen

Question

Gegeben sei in R^3 das gleichseitige Tetraeder mit den ecken

A=(-√3, -2, 0), B=(√3, -2, 0), C=(c1, c2, 0), D=(d1, d2, d3)

wobei c2 > -2, d3 > 0

Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte C und D

Den Punkt C hab ich mit dem Sklarprodukt rausbekommen C=(0,1,0)

Aber bei D komme ich so nicht auf die Koordinaten, gibt es da vielleicht noch einen leichteren Ansatz als über den Winkel zu gehen?

Danke schon mal

Answer 1

Länge einer Seite bestimmen

|AB| = 2·√3

Mittelpunkt der Seite von AB

MAB = 1/2·([- √3, -2, 0] + [√3, -2, 0]) = [0, -2, 0]

AB = B - A = [√3, -2, 0] - [-√3, -2, 0] = [2·√3, 0, 0]

Punkt C liegt auf der Mittelsenkrechten von AB in der Ebene z = 0

|AC| = |[0, c2, 0] - [-√3, -2, 0]| = 2·√3 --> c2 = -5 ∨ c2 = 1

C = [0, 1, 0]

Schwerpunkt des Dreiecks ABC

S = 1/3*([-√3, -2, 0] + [√3, -2, 0] + [0, 1, 0]) = [0, -1, 0]

Punkt D befindet sich über dem Schwerpunkt

AD = |[0, -1, d3] - [-√3, -2, 0]| = 2·√3 --> d3 = - 2·√2 ∨ d3 = 2·√2

D = [0, -1, 2·√2]