Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung Ix²+2xI > x + 2

Question

Wie muss ich hier vorgehen? Am besten die ausführliche Lösung. danke

Bestimmen Sie die vollständigen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen. Grafische Verfahren können als Hilfsmittel verwendet werden, aber die volle Punktzahl gibt es nur für Lösungen durch äquivalente Umformungen:

a) |x² + 2x| > x + 2

b) ||2y - 4| - 4| ≥ 3

Answer 1

  zu Aufgabe a) abs( x^2+2*x ) x + 2. Hier sind 2 Fälle zu betrachten

1:Fall : der Wert in der abs-Klammer ist positiv

  x^2 + 2 * x > 0  gilt für

  x^2 + 2 * x + 1^2 > 1^2 / quadratische Ergänzung

  ( x + 1)^2 > 1

  ( x + 1 ) > +- Wurzel(1)

  x + 1 > +1 => x > 0 oder

  x+1 < -1 => x < -2

 Für x^2 + 2*x > 0 gilt  x^2 + 2 * x > x + 2

  x^2 + 2*x - x > 2

  x^2 + 1*x + (1/2)^2 > 8/4 + 1/4 / quadratische Ergänzung

 ( x + 1/2 )^2 > 9/4

  x + 1/2 > +-Wurzel (9/4)

  x > 3/2 - 1/2

  x > 1 oder

  x < -3/2 - 1/2

  x < -2

  Zusammengefasst ergibt sich ( x > 0 ) und ( x > 1 ) => x > 1

  oder ( x < -2 ) und ( x < -2 ) => x < -2

Lösungsmenge 1.Fall : ( größer 1 bis unendlich ) oder (   -unendlich bis kleiner -2 )

2: Fall : der Wert in der abs-Klammer ist negativ

x^2 + 2*x < 0 gilt für

x^2 + 2*x + 1^2 < 1^2 / quadratische Ergänzung

( x + 1 )^2 < 1

 x +1 < 1

 x < 0 oder

x+1 > -1

x > -2

also für -2 < x < 0

 Für x^2 + 2*x < 0 gilt  - ( x^2 + 2 * x) > x + 2
-x^2 -2*x > x + 2

-x^2 - 3*x > 2

x^2 + 3*x < -2

x^2 + 3*x + (3/2)^2 < -8/4 + (3/2)^2

x^2 + 3/2)^2 < 1/4

 x + 3/2 < +-Wurzel(1/4)

x < 1/2 - 3/2

x < -1 oder

x > -1/2 - 3/2

x > -2 also

Aus -2 < x < 0  und -2 < x < -1 ergibt sich

die Lösungsmenge für den 2:Fall : -2 < x < -1

zu b habe ich keine Lust mehr.

 mfg Georg

Comments

Hi georgborn,

nur ein Tipp: Bei dem Omegasymbol direkt neben "Bild einfügen", kannst Du Zeichen erwählen, welche sonst eher unüblich sind. Darunter auch das unendlich-Zeichen ;).

 

Grüße