Momentane/ durchschnittliche Änderungsrate

Question

kann mir einer erklären, was mir die momentane Änderungsrate sagt? Ich lese überall, dass sie die durchschnittliche Steigung von zwei Punkten angibt und quasi die erste Ableitung ist.

Aber dann müsste ich doch, wenn mir eine Funktion einer momentane Änderungsrate gegeben sei, beispielweise bei der Berechnung von Extremstellen (bei der notwendigen Bedingung) direkt diese Funktion gleich 0 setzen und müsste keine Ableitung bilden. Ist das richtig?

Answer 1

Die Momentane Steigung ist die Steigung in einem Punkt und damit der Differenzialquotient. Das ist auch die erste Ableitung.

Die durchschnittliche Steigung in einem Intervall ist einfach nur die Steigung zwischen den Punkten am Intervallanfang und dem Intervallende.

Wenn du die Funktion einer momentanen Änderungsrate hast bekommst du über die Nullstellen die Extremstellen der Stammfunktion. Aber nicht die Extremstellen der momentanen Änderungsrate.

Answer 2

Gegeben ist eine Funktion f ( x ).
Diese Funktion soll Hoch- und Tiefpunkte haben.

f ( x ) = x^2 + 4

An den Hoch- und Tiefpunkten ist die Steigung 0.

Die Steigungsfunktion einer Funktion ist die 1.Ableitung der
Funktion und ist die momentane Änderungsrate.
An Hoch und Tiefpunkten ändert sich nämlich nichts.

f ´( x ) = 2 * x
Wird die Steigungsfunktion zu 0 gesetzt können die Extrempunkte
berechnet werden.
2 * x = 0
x = 0
f ( 0 ) = 4
Extrempunkt in ( 0 | 4 )

Ich kann auch gern noch eine Skizze einstellen.