Stetige Abbildungen in metrischen Räumen

Question

Aufgabe 9:

Sei $X$ ein metrischer Raum und seien $f, g: X \rightarrow \mathbb{R}$ zwei stetige Abbildungen.

(a) Führen Sie den Beweis von $\$ 3$, Satz 3 der Vorlesung aus, d. h. zeigen Sie: Die Menge $\{x \in X \mid f(x) \leq g(x)\}$ ist abgeschlossen in $X$.

(b) Zeigen Sie: Die Menge $\{x \in X \mid f(x)<g(x)\}$ ist offen in $X$.

Aufgabe 10:

Diese Aufgabe schließt an Aufgabe 5 an. Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum.

(a) Ist $A$ eine nicht-leere Teilmenge von $X$ und definiert man $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ durch $f(x):=d(x, A)$, so ist $f$ stetig.

(b) Sind $A, B$ abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von $X$, so gibt es offene Teilengen $U$ und $V$ von $X$ mit $A \subseteq U, B \subseteq V$ und $U \cap V=\emptyset$

Comments

die aufgabe 9 hat nichts damit zu tun.

sondern die 5, vermutlich auf einem alten zettel.

 

geht darum, dass A eine Teilmenge von X ist, und d(x,A)= inf{ d(x,a)| a€A}.

 

Davon ausgehend muss man jetzt irgendwie die Stetigkeit zeigen, vermutlich mit der Dreiecksungleichung.

Answer 1

Zu 9):

Eine Abbildung ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen (abgeschlossenen)

Menge offen (abgeschlossen) ist.

Da $f$ und $g$ stetig sind, ist auch $g-f$ stetig.

Die Menge aus (a) ist $(g-f)^{-1}([0,\infty))$, also als Urbild

der abgeschlossenen Menge $[0,\infty)$ abgeschlossen.

Die Menge in (b) ist $(g-f)^{-1}((0,\infty))$, also als Urbild der

offenen Menge $(0,\infty)$ offen.