Wir haben die jordansche Normalform definiert als: J = diag(Jn1(λ1),...,Jnr(λr))
Dazu dann auch noch zwei Beispiel:
(a) N= \( \begin{pmatrix} 3 & 15 & -3 & -16 \\ 3 & 21 & -3 & -21 \\ 6 & 21 & -6 & -14 \\ 0 & 18 & 0 & -18 \end{pmatrix}\) , N2= \( \begin{pmatrix} 36 & 36 & -36 & 48 \\ 54 & 54 & -54 & 72 \\ 18 & 18 & -18 & -24 \\ 54 & 54 & -54 & -72 \end{pmatrix}\) , N3=0
Also ist N nilpotent mit Nilpotenzindex 3. Somit gibt es einen Jordanblock der Größe 3 und aus Dimensionsgründen muss die jordansche Normalform von N dann diag(J3(0), J1(0)) sein.
(b) N = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) hat Nilpetenzindex 2 (N2=0), also gibt es jedenfalls einen Jordnablock der Größe 2. Damit gibt es zwei Möglichkeiten für die jordansche Normalform von N:
diag(J2(0), J2(0)) oder diag(J2(0),J1(0),J1(0)). Wir betrachten nun E0:
E0=Ker(N)= spanℝ{ \(\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\0 \end{pmatrix}\)}
Somit gibt es insgesamt 2 Jordanblöcke, also ist diag(J2(0),J2(0)) die jordansche Normalform.
Ich verstehe nicht, wie man auf die Größe der Jordanblöcke kommt. Soweit mir das aus den zwei Beispielen hervorgeht ist der Nilpotenzindex = einer Größe eines Jordanblocks und aus Beispiel (b) dann noch die Dimension. Aber ich weiß auch nicht ob die Beispiele so gewählt sind, oder das ein Regelfall ist.
Gibt es eine Formel oder ähnliches, wodran ich die Größe und Anzahl der Jordanblocks erkennen kann ?
