sup(A*B)=inf(A)*inf(B) Beweis

Question

Hallo Forum Mitglieder,

ich habe eine Frage zu folgender Gleichung:

  (c) \( \sup (A \cdot B)=\inf (A) \cdot \inf (B), \) falls alle Elemente von \( A \) und \( B \) nicht positiv sind.

Wie muss ich diese Gleichung beweisen. Generall wäre ja ein Anatz:

Das gilt:

a >= inf(A) und

b>= inf(B)

a*b<=inf (A)*inf(B)

also gilt, dass inf(A)*inf(B)= inf(A* B) sein muss.

Stimmt das, oder muss der Beweis doch ein wenig präziser werden?

LG

Orbi

Comments

Deine Ueberlegungen zeigen, dass inf(A)*inf(B) eine obere Schranke von A*B ist. Der Nachweis, dass es auch die kleinste obere Schranke ist, fehlt offensichtlich noch.

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Und wie führt man diesen nun durch? Etwas durch das epsilon Kriterium? Gibt es da nicht einen einfacheren Weg, evtl?

Answer 1

für alle a aus A gilt   a >= inf(A) und    und a≤0

für alle b aus B gilt b>= inf(B)    und b ≤0

dann aber       a >= inf(A)    | * b

ab ≤ b*inf(A)   weil b≤0   Zeichen umdrehen !

und ebenso    b>= inf(B)    | * a

ab<=a*inf(B)   weil a≤0

und damit  sind für alle a,b sowohl  b*inf(A) als auch a*Inf(B)

OBERE Schranken für A*B. und damit  inf(A)*inf(B) eine OBERE Schranke

für A*B.

Dass   inf(A)*inf(B) die kleinste obere Schranke ( also das Supremum ist)

kann man durch die Annahme: "Es gibt eine kleinere und daraus einen

Widerspruch ableiten")  zeigen.

Comments

Okay Danke. Muss man diesen Teil dann mit einem epsilon Beweis durchführen?

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Ich glaub man muss einfach anfangen und hinschreiben, was es bedeutet,

dann wird es wohl irgendwie einen Widerspruch zu

den Infima geben.

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Sei \(a=\inf A\) und \(b=\inf B\). Zeige dann, dass es zu jedem \(\epsilon>0\) Elemente \(a^*\in A\) und \(b^*\in B\) geben muss mit (\(a^*b^*\in AB\) und) \(a^*b^*\in[ab, ab-\epsilon)\). Dann kann eine Zahl \({}<ab\) keine obere Schranke von \(AB\) mehr sein und \(ab\) ist die kleinste obere, sprich das Supremum.

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Reicht das als Beweis?

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inf A und inf B sind nichtpositiv, also =0 oder <0. Das solltest Du beim Hintricksen der Epsilons und beim Abschaetzen beachten. inf A=0 oder inf B=0 kann man direkt behandeln. Das sup rechts in der ersten und zweiten Zeile soll wohl inf heissen. Es muss aber trotzdem etwas anders lauten: \(\inf A\le a<\inf A+\epsilon<0\). Das Hintricksen der Epsilons wuerde ich ganz weglassen.