Seien Β := (cos, sin) und V := span( Β ) ⊂ Abb(ℝ,ℝ).

Question

Aufgaben:

1) Zeigen Sie, dass \( Β \) eine Basis von V ist.

2) Zeigen Sie, dass die Abbildungen

F : V → V, ƒ ↦ F(f),
G : V → V, ƒ ↦ G(f)

erklärt durch

\( \left.\begin{array}{l}{[F(f)](x):=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right),} \\ {[G(f)](x):=f(\pi+x)}\end{array}\right\} \) für \( x \in \mathbb{R} \)

wie in ihrer Denition implizit behauptet tatsächlich nur Werte in V annehmen.

3) Zeigen Sie, dass F und G linear sind und bestimmen Sie die Matrizen M_{\( Β \)}(F) und M_{\( Β \)}(G).

Answer 1

1.  um zu zeigen, dass das eine Basis ist,
a*sin(x) + b*cos(x) = 0   (also 0-Abbildung)
d.h. für alle x aus R gilt
a*sin(x) + b*cos(x) = 0
also insbesondere für x = 0
also   b*1= 0   also b=0
und aber auch für x=pi/2
da bleibt  a*1 =0 also a=0

Also gibt es die Nullfunktion nur wenn a=b=0 ist,
also sind sie lin. unabh. und erzeugen V,
also Basis.

2. d.h. für jedes f aus V ist auch F(f) aus V,
sei also f aus V, dann ist f(x) = a*sin(x) + b*cos(x)  f.alle x aus R.
dann ist F (f) die Funktion mit
h(x) = f(pi/2 - x ) = a*sin(pi/2 - x) + b*cos(pi/2 - x)
                            
da aber  sin(pi/2 - x) = cos(x) und     cos(pi/2 - x)  = sin(x)
gilt also h(x) = a*cos(x) + b*sin(x)   ist also auch eine Lin.komb.
von sin und cos und damit aus V.

bei G so ähnlich

3. F linear heißt ja   a)  F ( f+g) = F(f) + F (g)
                              und  b)  F ( c*f) = c*F(f)

fang ma mit b) an:  sei f wie oben bei 2
F (a*f) ist die Funktion h mit h(x) = (a*f)(pi/2 - x ) = a* f(pi/2 - x )
a*F(x) ist a* die Funktion f(pi/2 - x ) also das gleiche.
und mit F ( f+g) = F(f) + F (g)   so ähnlich.

Für die Matrix musst du die Bilder der Basisvektoren wieder durch die
Basis darstellen.

also F ( cos) = cos( pi/2 - x ) = sin(x)  =  0*cos(x) + 1* sin(x)
also ist die erste Spalte der Matrix 
0
1
und nun F ( sin(x) ) = sin ( pi/2 - x) = cos (x) =  1* cos(x) + 0*sin(x)
also insgesamt
0  1
1  0
ist die Matrix von F.

G so ähnlich.

Comments

Bei 3) habe ich das selbe raus für G 
0   1

1   0 
 ist das richtig?

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G(cos) = cos(pi/2 +x) = -sin(x) = 0*cos(x) +(-1)*sin(x)

Also müsste die Matrix so aussehen:

0   1

-1  0

LG