Steckbriefaufgaben, dritten Grades

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt dir x-Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt (-3/0) die Steigung 9. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Comments

Ich komme nur auf 3 Bedingungen.

So formuliert wäre die Aufgabe nicht eindeutig lösbar.

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Ich komme auf vier Bedingungen.

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Es sei denn, mit berühren ist in dem Punkt ein Tiefpunkt gemeint, dann wären das 4 bedingungen

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Berührt die x-Achse im Ursprung, also ist unser Absolutglied (d)  gleich Null

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx

Erste Bedingung:

0 = a•(-3)^3 + b•(-3)^2 +c•(-3)

Zweite Bedingung:

f'(x) = m_t

3•a•x^2 + 2•b•x + c = m_t

3•a•(-3)^2 + 2•b•(-3) + c = 9

Dritte Bedingung:

f(0) = 0 (Berührpunkt am Ursprung)

a•0^3 + b•0^2 + c•0 = 0

Dann kommt raus: a = 1 ; b = 3 ; c = 0

Also: f(x) = x^3 + 3•x^2

Comments

Fehlerhinweis

Dritte Bedingung:
f(0) = 0 (Berührpunkt am Ursprung)
a•0³ + b•0² + c•0 = 0

hier mußt du die Formel für die 1.Ableitung verwenden und nicht die
Formel der Funktion

f ´( 0 ) = 0 ( Berührpunkt am Ursprung, Steigung = 0 )
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b^* x + c
f ´ ( 0 ) = 3 * a * 0^2  + 2 * b * 0 + c = 0  => c = 0

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Stimmt, danke für den Hinweis :)

Answer 2

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Da die Funktion die y-Achse bei 0 berührt, ergibt sich f(0) = 0 --> d = 0

Außerdem liegt bei x=0 ein Extrema (bzw. eine doppelte Nullstelle) vor weil f die x-Achse lediglich BERÜHRT und nicht SCHNEIDET. Deshalb muss dort die Steigung 0 vorliegen und es ergibt sich f'(0) = 0 --> c = 0

Zudem ist bekannt, dass P bei eine Nullstelle hat und so ergibt sich f(-3) = 0

Zuletzt hat f in P die Steigung 9 und so ergibt sich f'(-3) = 9

Jetzt stellt man ein Gleichungsystem auf.

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1) 0 = -27a + 9b

2) 9 = 27a - 6b

Additionsverfahren:

9 = 3b --> b=3

b einsetzen:

9 = 27a - 18 --> a = 1

Somit lautet die Funktionsgleichung f(x) = x^3 + 3x^2

Comments

Hinweis :
lediglich BERÜHRT und nicht SCHNEIDET.

Ein Berührungspunkt ist auch ein Schnittpunkt

Definition Berührpunkt

f ( x ) = g ( x )
und
f ´( x ) = g ´( x )