Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen mit Tiefpunkt T(1/-2)

Question

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und hat den Tiefpunkt bei T(1|-2).

Wie lautet die Funktionsgleichung?

Comments

Achsensymmetrie zur y-achse :
nur gerade Exponenten ( Beispiel )
f ( x ) = a x ^4 + b x^2

Punktsymmetrie zum Ursprung :
nur ungerade Exponenten ( Beispiel )
f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + c * x

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx

f'(x) = 3ax^2 + b

f(1) = -2 --> a + b = -2

f'(1) = 0 --> 3·a + b = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1 ∧ b = -3

f(x) = x^3 - 3x

Prüfe jetzt die Funktion.

Comments

Danke, kannst du mir sagen, wieso du als Ansatz nicht f(x) = ax³ +bx²+cx +d genommen hast?

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"ist symmetrisch zum Ursprung"

Was weißt du über eine Punktsymmetrie zum Ursprung?

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Das heisst, dass gilt:

f(x) = -f(-x)

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Und bei ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) dass alle Exponenten von x ungerade sind.