Schnittpunkt einer Kurve (Loop) mit sich selbst - Parameterdarstellung

Question

Ich kann die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen, von welcher auch zufällig einer der Schnittpunkt der Kurve mit sich selbst darstellt.

$$x(t)=t^{ 2 }+2\\ y(t)=t^{ 3 }-t\\ \\ Schritt\quad 1\\ y(t)=0=t^{ 3 }-t\\ { t }_{ 1 }=0\\ { t }_{ 2 }=1\\ \\ Schritt\quad 2\\ x(t={ t }_{ 1 })=2\\ x(t={ t }_{ 2\\ })=3$$

Wie bestimme ich aber den Schnittpunkt der Kurve mit sich selbst  allgemein?

Answer 1

Es muss gelten

x(a) = x(b) und

y(a) = y(b)

Das gibt dir ein Gleichungssystem welches du versuchen zu lösen kannst.

Bei dir

a² + 2 = b² + 2 --> b = ±a

a³ - a = b³ - b hier einsetzen

a³ - a = (-a)³ - (-a) --> a = -1 ∨ a = 1 ∨ a = 0

Comments

Kann ich wissen, was nun richtig ist?

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Was denkst du den was richtig ist ?

Naja a = 0 und b = 0 macht sicht besonders viel Sinn, das fällt also aus, weil es nicht zwei unterschiedliche Werte sind. Aber a = 1 und b = -1 sollte doch klappen.

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Also ich meine, ohne die Kurve zu kennen.

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Aber das geht doch ohne die Kurve zu kennen. Ich habe doch gerade die Parameter a und b hergeleitet die die selben Koordinaten ergeben. Wo ist denn jetzt deine Schwierigkeit ?

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Parameterdarstellung habe ich diesen DO. zum 1. Mal behandelt.

a=b=0 und a=b=1 machen keinen Sinn, da klar ist, dass ein und dieselbe Kurve sich überall selbst schneidet!

Sehe ich das richtig?

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Ich habe a = b = 1 auch nie ausgerechnet.

Es galt b = ±a und damit b = -a wenn man den Trivialfall b = a weglässt.