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Haaaaallo ihr Lieben (: Auch heute brauche ich euren Hilfe! Und zwar geht es hierbei um Anwendungsaufgaben - Istanbul ein Arbeitsauftrag, da unserer Lehrerin nicht da war .. die Vertretungslehrerin meinten zu de Aufgabe, dass man die Wendepunkte von f (x) berechnen muss?! Aber ich verstehe den Sinn dahinter nicht :/ Ich hoffe ihr habt eine Erklärung dafür :)

Die Flughöhe eines Segelflugzeugs in einer zweistündigen Flugphase wird durch die Funktion h(t)=1/1000 (t^3-180t^2+6000t)+400 modelliert(t in Minuten, h (t) in Metern) Zu welchem Zeitpunkt hat das Flugzeug den größten Höhenverlust?
von

Der Tipp Wendepunkt ist schon richtig, da Vertikalgeschwindigkeit als Ableitung der momentanen Höhe bestimmt werden kann.

Hier mal eine Skizze von h(t). Achse nach rechts mit Zeit t und noch oben mit Höhe über Boden beschriften.

Die Geraden sind vermutlich nicht genau - einfach in den Graphen eingepasst. Schätzung: Das Gefälle ist am Grössten bei ca. (60min|322.5m Höhe)

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Beste Antwort

Hallo Kiki

Physikalische Interpretation:
h(t) gibt die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit an, also die Wegkomponente in vertikaler Richtung. Wenn man nun die Ableitung von h(t) bildet, dann erhält man eine Funktion, die die Geschwindigkeitskomponente in vertikaler Richtung beschreibt. Die zweite Ableitung ergibt eine Funktion, die die Beschleunigung in vertikaler Richtung beschreibt.

Es ist der Zeitpunkt gesucht an dem das Flugzeug den größten Höhenverlust hat. Höhenverlust bedeutet, das Flugzeug muss sich in Richtung Erdboden bewegen. Wenn das der Fall ist, dann hat das Flugzeug auch eine gewisse Sinkgeschwindigkeit (also eine vertikale Geschwindigkeitskomponente, eine Geschwindigkeit Richtung Erdboden).

Wenn man jetzt eine Funktion hätte, die die Geschwindigkeit Richtung Erdboden beschreibt, dann könnte man die 1. Ableitung dieser Geschwindigkeitsfunktion bilden und 0 setzen, um ein Maximum dieser Funktion zu bestimmen.

Aber wie es der Zufall so will haben wir die Geschwindigkeitsfunktion, diese ist nämlich die 1. Ableitung der Wegfunktion h(t).

Das heißt also, wenn Du die 2. Ableitung von h(t) bildest und 0 setzt, dann erhältst du die Extrempunkte der Geschwindigkeitsfunktion und das sind auch (unter Umständen, s. Bedingungen für Wendepunkte) die Wendepunkte.

 

Ich hoffe das erklärt es für Dich. Falls Du es nicht verstehst --> Kommentar.

 

lg JR

von 3,7 k
Je größer die Geschwindigkeit Richtung Erdboden, desto größer der Höhenverlust. Dort wo die 2. Ableitung von h(t) gleich 0 ist, ist die Geschwindigkeit am größten (muss natürlich ein Maximum sein) und damit der Höhenverlust zu diesem Zeitpunkt.

Höhenverlust = Höhenänderung pro Zeiteinheit = Geschwindigkeit Richtung Erdboden.
Sind es dann nicht die Nullstellen ? :/ Ich blick das immernoch nicht so ganz :/
Also wenn Du eine Funktion Nullsetzt und nach der Unbekannten auflöst bestimmst Du die Nullstellen, das ist richtig.

Mir ging es erstmal ein wenig um das Verständnis. Wenn Du die Ableitung einer Funktion bildest, dann erhältst Du eine neue Funktion und diese beschreibt den Verlauf der Steigung der Funktion von der sie abgeleitet worden ist.

Nimm als Beispiel eine Parabel. Die hat an ihrem Scheitelpunkt die Steigung 0. Wenn Du nun die Ableitung bildest erhältst Du eine Gerade als Funktion. Bei dem x-Wert wo die Gerade die x-Achse schneidet, also wo sie 0 ist, da ist auch der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt der Parabel.
Das heißt, indem Du die Nullstellen der Ableitung bestimmst, findest Du die x-Werte möglicher Extrempunkte.
Deine Frage aber war ja warum man gerade die Wendepunkte bestimmen soll.

Die Wendepunkte sind ja auch nichts anderes als Extrempunkte, nur eben Extrempunkte der 1. Ableitung und nicht Extrempunkte der ursprünglichen Funktion.

Warum aber sollte man nun die Extrempunkte der 1. Ableitung bestimmen bei Deiner Aufgabe?
Das ist eine Frage der Interpretation des Wortes Höhenverlust. Der Höhenverlust beschreibt die Änderung der Höhe pro Zeiteinheit. Das ist wie beim Autofahren: Die Geschwindigkeit mit der man fährt besagt, wie viel Weg man pro Zeiteinheit zurücklegt. Z.B. bei 50km/h legt man pro Stunde (Stunde ist hier die Zeiteinheit) 50km zurück.
Der Höhenverlust ist also die Geschwindigkeit Richtung Erdboden.
Nun stellt sich die Frage woher Du weißt wie schnell sich das Flugzeug zu einem bestimmten Zeitpunkt Richtung Erdboden bewegt. Das verrät Dir die Steigung der Wegkurve, also die Steigung von h(t). Je größer die Steigung, desto größer ist auch die Änderung des Weges pro Zeiteinheit und damit der Höhenverlust.
Den Verlauf der Steigung erhältst Du indem Du die Ableitung bildest.
Das ist logisch nachvollziehbar  Aber was mein Problem ist, ist, dass ich mir das bildlich nicht vor Augen führen kann wieso ich nun die Wendepunkte berechnen muss! Der größte Höhenverlust ist doch dann,wenn sich das Flugzeug logischerweise richtig Erdboden bewegt.. Die Extrema musste ich bei dem erstens Aufgabenteil errechnen .. wo das Flugzeug die höchste bzw. geringste Höhe erreicht.. Aber hier wird ja wieder gemeint, dass man wieder die Extrema berechnen soll, was den zweiten Aufgabenteil betrifft :s
Hm. Ich merke gerade das ist vermutlich nicht wirklich hilfreich, wenn ich Dich so zutexte. Ich möchte es gern nochmal versuchen, Dir das besser zu erklären. Bitte beschreib mir was genau Du nicht verstehst bei der Aufgabe.
Doch ich verstehe es bisher sehr gut! Nur sind die Aufgabenstellungen meiner Meinung nach nicht wirklich nachvollziebar, was eigentlich von einem verlangt wird :/ ich will wissen was ich wann genau machen muss .. meist sind ja solchen Aufgaben immer ähnlich aufgebaut
Ok. Ich stell mal ein paar Grafen zusammen und versuch das nochmal im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung zu erklären. Dauert 'ne Weile.
Wie lieeeb (: hihi Kein Problem! Schon nett genug, dass du dir die Zeit nimmst und dir die Mühe machst! Ich hoffe ich habe dir damit keine Umstände bereitet :/

Hallo nochmal

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist Dein Problem nicht das bestimmen von Ableitungen, sondern zu verstehen warum Du gerade die erste oder zweite Ableitung bilden sollst, abhängig von der Aufgabenstellung.

Meiner Meinung nach ist der Schlüssel die Aufgabenstellung in mathematische Operationen umzusetzen, diemathematischen Operationen richtig zu interpretieren.

Die Aufgabenstellung lautet ja: Die Flughöhe eines Segelflugzeugs in einer zweistündigen Flugphase wird durch die Funktion h(t)=1/1000 (t3-180t2+6000t)+400 modelliert (t in Minuten, h (t) in Metern). Zu welchem Zeitpunkt hat das Flugzeug den größten Höhenverlust?

Nun schau Dir die erste Kurve an. Im ersten blauen Bereich (das sind die ersten 20 min) gewinnt das Flugzeug an Höhe; es steigt von 400m auf 456m.

Jetzt schau bitte auf die zweite Kurve darunter. Diese beschreibt die Steig (blau)- und Sinkgeschwindigkeit (rot). In den ersten 20 min hat die Kurve Werte die über 0 liegen. Die Geschwindigkeit ist also positiv, zeigt an, dass das Flugzeug steigt. Ein kurzer Blick auf die Höhenkurve bestätigt das auch. In dem Bereich in dem die Geschwindigkeitskurve positiv ist, gewinnt das Flugzeug an Höhe.
So wie das Flugzeug im blauen Bereich an Höhe gewinnt verliert es im roten Bereich an Höhe - h(t) nimmt in diesem Bereich ab. Unsere Vermutung, die Geschwindigkeitskurve sollte hier negative Werte haben. Ein Blick auf h'(t) bestätigt das.

Flugkurve

Nun ist der Zeitpunkt gesucht, an dem der Höhenverlust am größten ist. Ganz intuitiv würde ich sagen ist das der Punkt, an dem die Höhenkurve die größte negative Steigung hat, also bei t = 60min. (Falls Dir das nicht ganz einleuchtet habe ich am Ende noch etwas angefügt um das zu erklären.)

Nun ist also ein mathematisches Werkzeug gesucht mit dessen Hilfe Du den t-Wert finden kannst, an dem die Steigung der Höhenkurve die größte negative Steigung hat.
Wie Du schon weißt gibt die Steigung der Höhenkurve die Vertikalgeschwindigkeit an (die ich auch als Steig- und Sinkgeschwindigkeit bezeichnet habe). Die Steigung aber lässt sich mit Hilfe der Ableitung berechnen. Folglich bildest Du die erste Ableitung der Höhenkurve h(t) und erhältst h'(t) das ich mal als s(t) bezeichnen möchte, also h'(t) = s(t). Jetzt hast Du eine Funktion s(t), die die Steigung respektive Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Nun willst Du aber nicht irgendeine Steigung bei irgendeinem t-Wert, sondern den t-Wert mit der größten Steigung.
Wie findet man bei einer Kurve die Extrempunkte? Richtig. 1. Ableitung bilden und 0 setzen. Bevor Du das machst schaust Du noch mal Kurz auf die zweite Kurve. Es handelt sich um eine Parabel und wie unschwer zu erkennen ist, befindet sich der größte negative Wert bei t=60min (oder zumindest ungefähr; genaue Werte aus einem Diagramm abzulesen ist so eine Sache ...).
Nun bilde die erste Ableitung von s(t) --> s'(t). s(t) = h'(t) damit ist s'(t) = h''(t) und setze s'(t) = 0. Als Ergebnis erhältst Du tatsächlich t = 60 min.
Wenn Du s'(t) = 0 bestimmst, dann kennst Du die Extremwerte von s(t), dies sind zugleich die Wendepunkte von h(t) da ja s'(t) = h''(t).

Zusammengefasst: Gesucht ist der größte Höhenverlust = größte Sinkgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist da am größten wo die Wegkurve die größte Steigung hat. Den t-Wert der größten Steigung findet man indem man die 2. Ableitung der Wegkurve bildet und 0 setzt.

Jetzt musst Du nur noch prüfen ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt. Da h'''(t) > 0 ist, handelt es sich auch um einen Wendepunkt bzw. um ein Minimum der Geschwindigkeitskurve.

 

Anhang:

Erklärung warum die größte Sinkgeschwindigkeit auch bei einem t-Wert zu suchen ist, an dem die Steigung am größten ist.

Steigung

Betrachte zwei gleichgroße Zeitbereiche nur bei unterschiedlicher Steigung. Beim grünen Bereich ist die Steiung geringer also auch die Sinkgeschwindigkeit. Das heißt bei gleicher Zeit delta t ist der zurückgelegte Weg h1 kleiner als bei größerer Geschwindigkeit bzw. Steigung h2.

 

lg JR

Gute Idee, unterschiedliche Farben in den unterschiedlichen Abschnitten zu benutzen. Sehr schön!
Vielen ! Da steckt soooviel Arbeit drin :o Und ich haben es aufjedenfall nachvollziehen können - vielen Dank für alles (: die Mühe, den Aufwand, die Erklärungen und diese gute Veranschaulichung!

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