Hi, für n=1 gilt für die rekursive Darstellung
x2=31(16b−5a) und für die explizite Darstellung
x2=14⋅3215(1−15)a+3(152−1)b=126−15⋅14a+3⋅224b=316b−5a also besteht Gleichheit für n=2, ebenso für n=0 und n=1 und damit ist der Induktionsanfang gezeigt.
Jetzt der Induktionsschluss:
Nach Induktionsvoraussetzung gilt jetzt Gleichheit für die beiden Darstellungen bis zum Index n und Du musst zeigen das daraus folgt, dass auch Gleichheit für n+1 gilt. Dazu kannst Du jetzt die explizite Darstellung in die rekursive Darstellung einsetzen und alles ausrechnen.
Da man die explizite Darstellung auch schreiben kann als
145n(3b−a)+14⋅3n3(5a−b) sieht man, das der zweite Summand auf jeden Fall gegen 0 konvergiert, wenn n→∞ geht. Der erste Summand konvergiert gegen ±∞ für n→∞ falls 3b=a gilt. Konvergieren kann der erste Summand nur für b=3a