Integral von ln x im Intervall 0 bis 5

Question

Hallo miteinander

Naja, offiziell geht das natürlich nicht, das ist mir schon klar!

Nehme ich aber die Umkehrung von ln x, womöglich als e^-x, stosse ich doch mittels uneigentlicher Integration auf eine Fläche von 1! Somit ergibt sich die Summe aus dem Integral e^-x von null bis unendlich(also 1) plus der Fläche ln x im Intervall 1 bis 5, insgesamt  also ~ 5.04...

Denkfehler?

Viele Grüsse
Viktor

Comments

Umkehrung von ln(x) ist e^x

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Hallo Bepprich

Schon klar, dann halt das uneigentliche Integral von e^x von minus unendlich bis Null, ergibt auch 1 und ändert nix an der Frage.

Viele Grüsse
Viktor

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Willst du das Integral berechnen oder die Gesamtfläche zwischen ln(x) und der x-Achse ?

Im ersteren Fall hast du ein Denkfehler weil du Vorzeichen nicht beachtet hast.

Im zweiten Fall ist das Ergebnis korrekt.

Man kann das uneigentliche Integral auch direkt berechnen kann ohne die Umkehrfunktion zu benutzen (trotzdem kein schlechter Gedanke).

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Hallo Yakyu

Mir ging es hier tatsächlich um die Fläche..

Beide Funktionen verlaufen oberhalb der x-Achse, daher sollte eine Betragsrechnung nicht nötig sein, denk ich mal...

Mein ursprünglicher Integral-Ansatz war folgender:

|ln x| von 0.001 bis 1.00, bereits hier sieht man ja einen Hinweis auf einen möglichen Grenzwert:

0.99209...

Von 0.00001 aus gerechnet, wird es dann völlig klar:

0.99987...

Folglich existiert hier ein Grenzwert und der scheint mir doch recht eindeutig bei 1 zu liegen, was man mittels Umkehrung und uneigentlicher Integration auch bestätigt findet!

Viele Grüsse
Viktor(63, Autodidakt)

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Was meinst du mit beide Funktionen?

Ln(x) verläuft im Negativen für x zwischen 0 und 1. Das bedeutet wenn du das Integral von 0 bis 5 berechnest, du die Fläche von 1 bis 5 um die Fläche von 0 bis 1 reduzierst. Wenn dich nur die Gesamtfläche interessiert musst du das Integral an der Nullstelle trennen und die Beträge der beiden Teilintegrale addieren.

Wenn du aber die ganze Zeit das Integral des Betrages der ln-Funktion betrachtest, so ist dies nicht von Bedeutung.

Das uneigentliche Integral existiert und es ist (wie du schon korrekt vermutest)

$$\int \limits_0^1 \ln(x) = -1$$

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Hallo Yakyu

Ich meinte natürlich die Umkehrung der Funktion ln x(s.o.), die liegt ja nun über der X-Achse, somit ist hier keine Betragsrechnung vonnöten.

Viele Grüsse
Viktor

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Doch ist es wenn du sagst:

Somit ergibt sich die Summe aus dem Integral e^-x von null bis unendlich(also 1) plus der Fläche ln x im Intervall 1 bis 5, 

denn:

$$\int \limits_0^5 \ln(x)dx \neq \int \limits_{-\infty}^0 e^xdx + \int \limits_1^5 \ln(x)$$

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Hallo Yakyu

Danke für deine Rückmeldungen!
Manchmal ist es schon sehr hilfreich, seine kleinen Gedankengänge bestätigt zu sehen...
Natürlich kann ich das an meine 8 Enkel kaum weitergeben, die würden wohl leider vom Lehrer eins auf die Finger bekommen!
Dabei ist Mathematik doch so ein schönes Feld, um seine Gedanken wandern zu lassen..
Substitutionen, Variablentausch, Umkehrungen, Koordinatendrehung, hier bin ich zu Hause!

Ich wünsche dir und allen Usern eine schöne Woche
Viele Grüsse
Viktor

Answer 1

Naja, offiziell geht das natürlich nicht, das ist mir schon klar! 

Natürlich geht es offiziell.

Hier zunächst einmal eine Skizze.

Wie bekannt ist die Umkehrfunktion zu f ( x ) = ln ( x )

g ( x ) = e^x

Die Fläche von
∫ f ( x ) dx  zwischen 0 und 1

ist dieselbe wie
∫ g ( x ) dx = ∫ e^x dx  zwischen -∞ und 0

∫ e^x dx = e^x
[ e^x ] _-∞⁰
e⁰ - e^-∞  = 1 - 0 = 1

Das Ganze geht auch mit f ( x )
∫ ln ( x ) dx  = x * ( ln ( x ) - 1 )

Zwischen 0 und 1 ergibt sich -1
Zwischen 1 und 5 ergibt sich 4.05

Das Integral zwischen 0 und 1 wäre 3.05.
Die Fläche wäre 5.05

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Hallo georgborn

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Viele Grüsse
Viktor

Answer 2

----> x  * ln(x) - x +C  !!

5  /  0   ,     5  * ln (5)  -5  =   5  * 1,6  -5  =  8-5 = 3

Comments

Autsch, ist dir überhaupt klar was du da tust?

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Alles klar , mein Fehler !

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Das Autsch war mehr auf die Notation bezogen ;) und das Runden....

Answer 3

Ewas allgemeiner lässt sich der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral einer umkehrbaren, integrierbaren Funktion $u$ und dem bestimmten Integral ihrer Umkehrfunktion $\overline{u}$ formal auch so herleiten:
$$\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = \int_{a}^{b}1\cdot u(x)\,\text{d}x$$Partielles Integrieren rechts:
$$\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = \Bigl[x\cdot u(x)\Bigr]_a^b - \int_{a}^{b}x\cdot u'(x)\,\text{d}x$$Ausschreiben der Stammfunktionsklammer und Ersetzen von $x$ durch $\overline{u}(u(x))$:
$$\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \int_{a}^{b}\overline{u}\left(u(x)\right)\cdot u'(x)\,\text{d}x$$Substituieren:
$$\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \int_{u(a)}^{u(b)}\overline{u}\left(z\right)\,\text{d}z$$Ist nun $\overline{U}$ eine Stammfunktion von $\overline{u}$, wäre das dann
$$\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x = b\cdot u(b) - a\cdot u(a) - \left( \overline{U}\left(u(b)\right)-\overline{U}\left(u(a)\right) \right).$$
Mit der letzten Zeile lässt sich beispielsweise auch $\ln$ integrieren.